Что такое интегральная показательная функция En(x)?
Интегральная показательная функция порядка n, обозначаемая En(x), — это определённый интеграл от e-xt/tn в пределах от t = 1 до бесконечности. Она встречается во многих разделах физики и техники: в теории переноса излучения, переноса нейтронов, теплопроводности и в теории антенн. При фиксированном целом порядке \(n\) это гладкая, положительная и монотонно убывающая функция от \(x\), которая стремится к нулю при больших значениях \(x\). Данный калькулятор строит полную таблицу пар \((x, E_{\text{n}}(x))\) и линейный график, чтобы вы могли сразу оценить поведение кривой.
$$E_{\text{n}}(x_i) = \int_{1}^{\infty} \frac{e^{-x_i\,t}}{t^{\,\text{n}}}\, dt, \qquad x_i = \text{Initial }x + i \cdot \text{Step}$$
Как пользоваться калькулятором
Введите четыре числа: порядок n (неотрицательное целое — например, 0, 1, 2, 3), начальное значение x, с которого начинается таблица, шаг (приращение), который прибавляется к x в каждой следующей строке, и число повторений (сколько строк сформировать). Калькулятор вычисляет \(x_i = \text{начальное\_}x + i \cdot \text{шаг}\) для \(i\) от 0 до \(\text{число\_строк} - 1\) и находит \(E_{\text{n}}(x_i)\) в каждой точке. При значениях по умолчанию (n = 2, начало 0, шаг 0,02, 101 строка) x меняется от 0,00 до 2,00 с шагом 0,02.
Разбор формулы
Значение \(E_{\text{n}}(x)\) вычисляется по классическому численному алгоритму: при \(x > 1\) быстро сходится разложение в непрерывную дробь по методу Ленца, а при \(0 < x \le 1\) используется разложение в степенной ряд. Особые значения обрабатываются напрямую: \(E_0(x) = e^{-x}/x\), а \(E_{\text{n}}(0) = 1/(n-1)\) при \(n \ge 2\). Случай \(E_1(0)\) расходится к бесконечности и в таблице помечается отдельно, а не выводится числом.
Разбор примера
Возьмём n = 2 и x = 1. Используя тождество \(E_2(x) = e^{-x} - x \cdot E_1(x)\) с \(E_1(1) \approx 0{,}2193839\), получаем $$E_2(1) = 0{,}3678794 - 0{,}2193839 = 0{,}1484955.$$ Калькулятор выдаёт то же самое значение. При x = 0 имеем \(E_2(0) = 1/(2-1) = 1\), а при x = 2 — \(E_2(2) \approx 0{,}0375343\): кривая явно убывает.
Частые вопросы
Может ли n быть дробным? Нет. Калькулятор определён только для неотрицательных целых порядков; нецелые значения \(n\) выходят за пределы его области применения.
Почему в строке написано «расходится»? Значение \(E_1(0)\) математически бесконечно (интеграл в этой точке не сходится), поэтому такая строка помечается как расходящаяся, а не показывает вводящее в заблуждение число.
А как насчёт отрицательных x? При \(n \ge 1\) интеграл, как правило, расходится для \(x < 0\), поэтому калькулятор возвращает конечные значения только при \(x \ge 0\).
