指数積分En(x)とは
次数nの指数積分En(x)は、e-xt/tnをt = 1から無限大まで積分した定積分です。放射輸送、中性子輸送、熱伝導、アンテナ理論など、物理学や工学のさまざまな分野で登場します。整数次数nを固定すると、En(x)はxに対して滑らかで正の値をとり、単調に減少して、xが大きくなるにつれて0に近づきます。本計算機は(x, En(x))の値の表と折れ線グラフを作成し、曲線の様子をひと目で把握できるようにします。
$$E_{\text{n}}(x_i) = \int_{1}^{\infty} \frac{e^{-x_i\,t}}{t^{\,\text{n}}}\, dt, \qquad x_i = \text{Initial }x + i \cdot \text{Step}$$
計算機の使い方
次の4つの数値を入力します。次数n（0、1、2、3 などの0以上の整数）、表の開始点となるxの初期値、行ごとにxへ加える増分（刻み幅）、そして生成する繰り返し回数（行数）です。本ツールは i = 0 から行数−1 まで \(x_i = \text{初期値} + i \cdot \text{刻み幅}\) を計算し、各点で \(E_n(x_i)\) を求めます。初期設定（n = 2、開始 0、刻み幅 0.02、101 行）では、xは0.02刻みで0.00から2.00まで変化します。
計算式の解説
En(x)は古典的な数値計算手法で求めます。x > 1 の場合はレンツ法による連分数展開が速やかに収束し、0 < x ≤ 1 の場合はべき級数展開を用います。特殊な値は直接処理されます。\(E_0(x) = e^{-x}/x\)、そして n ≥ 2 のとき \(E_n(0) = 1/(n-1)\) です。\(E_1(0)\) は無限大に発散するため、数値として表示する代わりに表中で「発散」として明示されます。
計算例
n = 2、x = 1 を考えます。恒等式 \(E_2(x) = e^{-x} - x \cdot E_1(x)\) と \(E_1(1) \approx 0.2193839\) を用いると、$$E_2(1) = 0.3678794 - 0.2193839 = 0.1484955$$となります。本計算機も同じ値を返します。x = 0 では \(E_2(0) = 1/(2-1) = 1\)、x = 2 では \(E_2(2) \approx 0.0375343\) となり、曲線が明らかに減少していることがわかります。
よくある質問
nに小数を指定できますか？ いいえ。本ツールは0以上の整数の次数に対してのみ定義されており、整数でないnは対象外です。
なぜ「発散」と表示される行があるのですか？ \(E_1(0)\) は数学的に無限大（積分がそこで収束しない）であるため、誤解を招く数値を表示する代わりに、その行だけ発散として印が付けられます。
xが負の場合はどうなりますか？ n ≥ 1 では x < 0 のとき一般に積分が発散するため、本計算機は x ≥ 0 の範囲でのみ有限の値を返します。
