dn(u, k) とは？
ヤコビの楕円関数 dn(u, k) は「デルタ振幅（delta amplitude）」と呼ばれ、sn・cn と並ぶ 3 つの基本的なヤコビ楕円関数のひとつです。これらは通常の三角関数を一般化したもので、物理学や工学のさまざまな場面に登場します。たとえば振り子の厳密な周期、非線形波動方程式のソリトン解、剛体の運動（オイラーの運動方程式）、そして楕円フィルタの設計などです。本ツールでは、任意の実数 \(u\) と -1〜1 の範囲の母数 \(k\) に対して dn を計算します。
使い方
引数 u（任意の実数）と、\(-1 \le k \le 1\) を満たす母数 k を入力してください。dn は \(k^2\) のみに依存するため、k の符号は結果に影響しません。「計算」ボタンを押すと dn(u, k) が求まります。内部ではパラメータ \(m = k^2\) として処理しています。
計算式の解説
振幅 \(\varphi = \operatorname{am}(u, m)\) を、第 1 種不完全楕円積分 \(F(\varphi \mid m) = u\) によって暗黙的に定義します。このとき \(\operatorname{sn} = \sin(\varphi)\)、\(\operatorname{cn} = \cos(\varphi)\)、そして $$\operatorname{dn} = \sqrt{1 - k^{2}\sin^{2}\varphi}$$ となります。\(\operatorname{am}(u, m)\) は降下ランデン変換（算術幾何平均法、いわゆる Numerical Recipes の「sncndn」ルーチン）によって数値的に求めます。この方法は 2 次収束し、定義域全体で高い精度を保ちます。
計算例
\(u = 4\)、\(k = 0.7\) とすると \(m = 0.49\) です。振幅は \(\operatorname{am}(4, 0.49) \approx 3.4179\) rad となり、\(\operatorname{sn}(4, 0.7) \approx -0.27156\) が得られます。したがって $$\operatorname{dn} = \sqrt{1 - 0.49 \times (-0.27156)^{2}} = \sqrt{1 - 0.036131} = \sqrt{0.963869} \approx 0.981768$$ となります。
よくある質問
k = 0 のときはどうなりますか？ 母数の項が消え、\(\operatorname{am}(u, 0) = u\) となるため、すべての u について \(\operatorname{dn}(u, 0) = 1\) になります。
k = 1 のときは？ \(\operatorname{dn}(u, 1) = \operatorname{sech}(u) = \dfrac{1}{\cosh(u)}\) となります。たとえば \(\operatorname{dn}(4, 1) \approx 0.036644\) です。
dn の値域は？ \(|k| < 1\) のとき、dn は常に正の値をとり、最小値の \(k' = \sqrt{1 - k^{2}}\) と、u = 0（2K の周期ごと）での最大値 1 の間で振動します。ここで K は第 1 種完全楕円積分です。
