dn(u, k) là gì?
Hàm elliptic Jacobi dn(u, k), còn gọi là "biên độ delta", là một trong ba hàm elliptic Jacobi cơ bản, cùng với sn và cn. Chúng là dạng tổng quát hóa của các hàm lượng giác thông thường và xuất hiện khắp nơi trong vật lý và kỹ thuật: chu kỳ chính xác của con lắc, nghiệm soliton của phương trình sóng phi tuyến, chuyển động của vật rắn (phương trình Euler) và thiết kế bộ lọc elliptic. Công cụ này tính dn cho mọi đối số thực u và mô-đun k nằm trong khoảng từ -1 đến 1.
Cách sử dụng
Nhập đối số u (số thực bất kỳ) và mô-đun k với điều kiện \(-1 \le k \le 1\). Vì dn chỉ phụ thuộc vào \(k^2\) nên dấu của k không ảnh hưởng đến kết quả. Nhấn nút tính để nhận giá trị dn(u, k). Bên trong, máy tính đặt tham số \(m = k^2\).
Giải thích công thức
Gọi \(\varphi = \operatorname{am}(u, m)\) là biên độ, được xác định ngầm thông qua tích phân elliptic không đầy đủ loại một \(F(\varphi \mid m) = u\). Khi đó \(\operatorname{sn} = \sin(\varphi)\), \(\operatorname{cn} = \cos(\varphi)\) và $$\operatorname{dn} = \sqrt{1 - k^2 \sin^2\varphi}.$$ Chúng tôi tính am(u, m) bằng phương pháp số dựa trên phép biến đổi Landen giảm dần / trung bình cộng-nhân (AGM) — chính là thuật toán "sncndn" kinh điển trong Numerical Recipes — hội tụ bậc hai và cho độ chính xác cao trên toàn miền giá trị.
Ví dụ minh họa
Lấy u = 4 và k = 0,7, vậy m = 0,49. Biên độ \(\operatorname{am}(4;\, 0{,}49) \approx 3{,}4179\) rad, suy ra \(\operatorname{sn}(4;\, 0{,}7) \approx -0{,}27156\). Khi đó $$\operatorname{dn} = \sqrt{1 - 0{,}49 \times (-0{,}27156)^2} = \sqrt{1 - 0{,}036131} = \sqrt{0{,}963869} \approx \mathbf{0{,}981768}.$$
Câu hỏi thường gặp
Điều gì xảy ra khi k = 0? \(\operatorname{dn}(u, 0) = 1\) với mọi u, vì số hạng chứa mô-đun triệt tiêu và \(\operatorname{am}(u, 0) = u\).
Còn khi k = 1 thì sao? \(\operatorname{dn}(u, 1) = \operatorname{sech}(u) = \frac{1}{\cosh(u)}\); chẳng hạn \(\operatorname{dn}(4, 1) \approx 0{,}036644\).
Miền giá trị của dn là gì? Với \(|k| < 1\), dn luôn dương và dao động giữa giá trị nhỏ nhất là \(k' = \sqrt{1 - k^2}\) và giá trị lớn nhất bằng 1 tại u = 0 (theo mod 2K), trong đó K là tích phân elliptic đầy đủ loại một.
