Công cụ này làm gì
Công cụ này tính cả ba hàm elliptic Jacobi — \(\operatorname{sn}(u,k)\), \(\operatorname{cn}(u,k)\) và \(\operatorname{dn}(u,k)\) — cho mọi đối số thực \(u\) và mô-đun \(k\) nằm trong khoảng từ 0 đến 1. Đây là những hàm tổng quát hóa các hàm lượng giác quen thuộc và xuất hiện khắp nơi trong vật lý và kỹ thuật: chuyển động chính xác của con lắc, sóng soliton (phương trình KdV và sine-Gordon), thiết kế bộ lọc elliptic, cũng như các ánh xạ bảo giác.
Quy ước về mô-đun, tham số và góc
Quy ước rất quan trọng. Máy tính này dùng mô-đun \(k\), với \(0 \le k \le 1\). Tham số liên quan là \(m = k^2\), còn góc mô-đun là \(\alpha = \arcsin(k)\). Nếu nguồn của bạn cho giá trị \(m\) hoặc \(\alpha\), hãy đổi trước: \(k = \sqrt{m}\) hoặc \(k = \sin(\alpha)\). Đối số \(u\) và mọi góc đều tính bằng radian.
Cách sử dụng
Nhập đối số \(u\) (một số thực bất kỳ) và mô-đun \(k\) trong khoảng từ 0 đến 1, rồi đọc kết quả \(\operatorname{sn}\), \(\operatorname{cn}\) và \(\operatorname{dn}\). Bảng kết quả còn hiển thị hai đẳng thức định nghĩa, cả hai đều phải bằng 1 — đây là cơ chế kiểm tra độ chính xác tích hợp sẵn.
Công thức và thuật toán
Biên độ \(\varphi = \operatorname{am}(u,k)\) được xác định ngầm qua $$u = \int_{0}^{\varphi} \frac{d\theta}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2 \theta}}.$$ Khi đó \(\operatorname{sn} = \sin(\varphi)\), \(\operatorname{cn} = \cos(\varphi)\) và \(\operatorname{dn} = \sqrt{1 - k^2 \sin^2 \varphi}\). Máy tính nghịch đảo tích phân này bằng phương pháp Landen giảm dần / Trung bình cộng-nhân (AGM), hội tụ bậc hai và đạt độ chính xác kép chỉ sau khoảng chín bước. Các trường hợp giới hạn \(k = 0\) (\(\operatorname{sn} = \sin u\), \(\operatorname{cn} = \cos u\), \(\operatorname{dn} = 1\)) và \(k = 1\) (\(\operatorname{sn} = \tanh u\), \(\operatorname{cn} = \operatorname{dn} = \operatorname{sech} u\)) được xử lý bằng công thức dạng đóng để tránh suy biến của AGM.
Ví dụ minh họa
Lấy \(u = 1.0\) và \(k = 0.5\) (vậy \(m = 0.25\)). Biên độ là \(\operatorname{am}(1, 0.5) \approx 0.95985\) rad, cho \(\operatorname{sn} \approx 0.81962\), \(\operatorname{cn} \approx 0.57280\) và $$\operatorname{dn} = \sqrt{1 - 0.25 \cdot 0.81962^2} \approx 0.91217.$$ Cả hai đẳng thức đều đúng: \(\operatorname{sn}^2 + \operatorname{cn}^2 \approx 1\) và \(\operatorname{dn}^2 + k^2\operatorname{sn}^2 \approx 1\).
Câu hỏi thường gặp
Chu kỳ của các hàm là bao nhiêu? \(\operatorname{sn}\) và \(\operatorname{cn}\) có chu kỳ thực \(4K(k)\); \(\operatorname{dn}\) có chu kỳ \(2K(k)\), trong đó \(K(k)\) là tích phân elliptic đầy đủ loại một.
Các giá trị nằm trong khoảng nào? \(|\operatorname{sn}| \le 1\), \(|\operatorname{cn}| \le 1\), và \(k' \le \operatorname{dn} \le 1\) với \(k' = \sqrt{1 - k^2}\) là mô-đun bù.
\(k\) có thể lớn hơn 1 không? Các hàm Jacobi nhận giá trị thực đòi hỏi \(0 \le k \le 1\); những giá trị \(k\) nằm ngoài khoảng này sẽ được giới hạn lại về khoảng hợp lệ.
