这个计算器能做什么
本工具用于计算三个雅可比椭圆函数——sn(u,k)、cn(u,k) 和 dn(u,k)，适用于任意实数自变量 u 以及取值在 0 到 1 之间的模数 k。这些函数是普通三角函数的推广，在物理与工程中随处可见：单摆的精确运动、孤立子（KdV 方程与 sine-Gordon 方程）、椭圆滤波器设计，以及共形映射等。
模数、参数与角度的约定
不同的约定会带来差异，务必注意。本计算器采用模数 k，且满足 0 ≤ k ≤ 1。与之相关的参数为 m = k²，模角则为 alpha = arcsin(k)。如果你手头的资料给出的是 m 或 alpha，请先换算：k = sqrt(m) 或 k = sin(alpha)。自变量 u 及所有角度均以弧度为单位。
如何使用
填入自变量 u（任意实数）和介于 0 到 1 之间的模数 k，即可读取 sn、cn 和 dn 的结果。结果面板还会显示两个定义恒等式的取值，它们都应等于 1——这相当于一个内置的精度自检。
公式与算法
幅度 phi = am(u,k) 由积分关系隐式定义：u = ∫0phi dtheta / sqrt(1 − k² sin² theta)。于是 sn = sin(phi)、cn = cos(phi)、dn = sqrt(1 − k² sin² phi)。计算器采用下降 Landen 变换 / 算术-几何平均（AGM）方法对该积分求逆，其收敛速度为二次收敛，约九步即可达到双精度。对于两种极限情形——k = 0（此时 sn = sin u、cn = cos u、dn = 1）与 k = 1（此时 sn = tanh u、cn = dn = sech u）——则直接采用其闭式表达，以避免 AGM 退化。
计算示例
取 u = 1.0、k = 0.5（即 m = 0.25）。幅度 am(1, 0.5) ≈ 0.95985 弧度，由此得到 sn ≈ 0.81962、cn ≈ 0.57280，以及 dn = sqrt(1 − 0.25 · 0.81962²) ≈ 0.91217。两个恒等式都成立：sn² + cn² ≈ 1，dn² + k²sn² ≈ 1。
常见问题
它们的周期是多少？sn 与 cn 的实周期为 4K(k)；dn 的周期为 2K(k)，其中 K(k) 是第一类完全椭圆积分。
函数值的取值范围如何？|sn| ≤ 1，|cn| ≤ 1，而 k' ≤ dn ≤ 1，其中 k' = sqrt(1 − k²) 称为补模数。
k 可以大于 1 吗？实值雅可比函数要求 0 ≤ k ≤ 1；超出该范围的 k 会被截断到有效区间内。
