Qué hace esta calculadora

Esta herramienta evalúa las tres funciones elípticas de Jacobi — $\operatorname{sn}(u,k)$, $\operatorname{cn}(u,k)$ y $\operatorname{dn}(u,k)$ — para cualquier argumento real $u$ y un módulo $k$ comprendido entre 0 y 1. Estas funciones generalizan las funciones trigonométricas habituales y aparecen por toda la física y la ingeniería: el movimiento exacto del péndulo, los solitones (las ecuaciones de KdV y de seno-Gordon), el diseño de filtros elípticos y las aplicaciones conformes.

Gráficas de las funciones elípticas de Jacobi sn, cn y dn representadas frente a u — Las tres funciones elípticas de Jacobi sn, cn y dn como ondas periódicas del argumento u.

Convenciones de módulo, parámetro y ángulo

Las convenciones son importantes. Esta calculadora trabaja con el módulo k, donde $0 \le k \le 1$. El parámetro asociado es $m = k^2$, y el ángulo modular es $\alpha = \arcsin(k)$. Si tu fuente expresa los datos en $m$ o en $\alpha$, conviértelos primero: $k = \sqrt{m}$ o $k = \sin(\alpha)$. El argumento $u$ y todos los ángulos se miden en radianes.

Cómo usarla

Introduce el argumento $u$ (cualquier número real) y el módulo $k$ entre 0 y 1, y obtendrás directamente $\operatorname{sn}$, $\operatorname{cn}$ y $\operatorname{dn}$. El panel de resultados también muestra las dos identidades que definen estas funciones, que deberían dar 1 en ambos casos: una comprobación de precisión integrada.

La fórmula y el algoritmo

La amplitud $\phi = \operatorname{am}(u,k)$ se define de forma implícita mediante $$u = \int_{0}^{\phi} \frac{d\theta}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2 \theta}}.$$ A partir de ahí, $\operatorname{sn} = \sin(\phi)$, $\operatorname{cn} = \cos(\phi)$ y $\operatorname{dn} = \sqrt{1 - k^2 \sin^2 \phi}$. La calculadora invierte la integral con el método de Landen descendente / media aritmético-geométrica (AGM), que converge de forma cuadrática y alcanza la doble precisión en unos nueve pasos. Los casos límite $k = 0$ ($\operatorname{sn} = \sin u$, $\operatorname{cn} = \cos u$, $\operatorname{dn} = 1$) y $k = 1$ ($\operatorname{sn} = \tanh u$, $\operatorname{cn} = \operatorname{dn} = \operatorname{sech} u$) se tratan con sus formas cerradas para evitar la degeneración del AGM.

Triángulo rectángulo que muestra el ángulo de amplitud phi cuyo seno y coseno dan sn y cn — El ángulo de amplitud phi: su seno y coseno dan sn y cn.

Ejemplo resuelto

Tomemos $u = 1.0$ y $k = 0.5$ (de modo que $m = 0.25$). La amplitud es $\operatorname{am}(1, 0.5) \approx 0.95985$ rad, lo que da $\operatorname{sn} \approx 0.81962$, $\operatorname{cn} \approx 0.57280$ y $$\operatorname{dn} = \sqrt{1 - 0.25 \cdot 0.81962^2} \approx 0.91217.$$ Ambas identidades cuadran: $\operatorname{sn}^2 + \operatorname{cn}^2 \approx 1$ y $\operatorname{dn}^2 + k^2\operatorname{sn}^2 \approx 1$.

Preguntas frecuentes

¿Cuáles son los periodos? $\operatorname{sn}$ y $\operatorname{cn}$ tienen periodo real $4K(k)$; $\operatorname{dn}$ tiene periodo $2K(k)$, donde $K(k)$ es la integral elíptica completa de primera especie.

¿Qué valores pueden tomar? $|\operatorname{sn}| \le 1$, $|\operatorname{cn}| \le 1$ y $k' \le \operatorname{dn} \le 1$, donde $k' = \sqrt{1 - k^2}$ es el módulo complementario.

¿Puede k ser mayor que 1? Las funciones de Jacobi reales exigen $0 \le k \le 1$; los valores de $k$ fuera de este rango se ajustan al intervalo válido.

Identity sn² + cn²	1 (should be 1)
Identity dn² + k²sn²	1 (should be 1)

Calculadora de funciones elípticas de Jacobi sn, cn y dn

Ingresar cálculo

Fórmula

Resultados