¿Qué es la calculadora de raíces complejas?
Todo número complejo \(z = a + bi\) distinto de cero tiene exactamente n raíces n-ésimas diferentes, y esta calculadora las encuentra todas. Primero pasa \(z\) a su forma polar (módulo \(r\) y argumento \(\theta\)) y, a continuación, aplica el teorema de De Moivre para mostrar cada raíz en forma rectangular \(a + bi\) junto con su ángulo. Las raíces se reparten de manera uniforme sobre una circunferencia de radio \(r^{1/n}\) en el plano complejo, separadas entre sí \(360°/n\).
Cómo utilizarla
Introduce la parte real (a) y la parte imaginaria (b) de tu número complejo y, después, elige el grado de la raíz \(n\) (por ejemplo, 2 para raíces cuadradas o 3 para raíces cúbicas). La herramienta te devuelve el módulo \(|z|\), el argumento \(\theta\) en grados, el módulo de la raíz \(r^{1/n}\) y una tabla completa con las \(n\) raíces. La raíz principal (\(k = 0\)) aparece destacada en la parte superior.
La fórmula al detalle
Primero expresamos \(z\) en forma polar: \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\) y \(\theta = \operatorname{atan2}(b, a)\). Las raíces n-ésimas son entonces:
$$w_k = \sqrt[n]{r}\left[\cos\!\left(\frac{\theta + 2\pi k}{n}\right) + i\sin\!\left(\frac{\theta + 2\pi k}{n}\right)\right],\quad k = 0, 1, \dots, n-1.$$Todas las raíces comparten el mismo módulo \(r^{1/n}\); lo único que cambia es el ángulo, que aumenta \(2\pi/n\) en cada paso.
Ejemplo resuelto
Calculemos las raíces cuadradas de \(z = -1\) (\(a = -1\), \(b = 0\), \(n = 2\)). Aquí \(r = 1\) y \(\theta = 180°\). El módulo de la raíz es \(1^{1/2} = 1\). Los ángulos son \(180°/2 = 90°\) y \((180° + 360°)/2 = 270°\). Por tanto, las raíces son \(\cos 90° + i\sin 90° = \mathbf{i}\) y \(\cos 270° + i\sin 270° = \mathbf{-i}\). Estas son precisamente las dos raíces cuadradas de \(-1\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué hay n raíces? Porque sumar cualquier múltiplo de \(2\pi\) al argumento da el mismo número; al dividir entre \(n\) se obtienen \(n\) ángulos distintos antes de que vuelvan a repetirse.
¿Qué ocurre con z = 0? El cero tiene una única raíz: 0. La calculadora devuelve \(0 + 0i\).
¿El ángulo se da en grados o en radianes? Los resultados se muestran en grados para que sean más fáciles de leer; internamente los cálculos se hacen en radianes.
