복소수 거듭제곱근 계산기란?
0이 아닌 모든 복소수 \(z = a + bi\)에는 정확히 n개의 서로 다른 n제곱근이 존재합니다. 이 계산기는 그 모든 근을 한 번에 찾아 줍니다. 먼저 z를 극형식(절댓값 \(r\)과 편각 \(\theta\))으로 바꾼 뒤, 드무아브르 정리를 적용해 각 근을 직교형식 \(a + bi\)와 각도로 나란히 보여 줍니다. 모든 근은 복소평면에서 반지름이 \(r^{1/n}\)인 원 위에 \(360°/n\) 간격으로 고르게 배치됩니다.
사용 방법
복소수의 실수부(\(a\))와 허수부(\(b\))를 입력한 다음, 근의 차수 \(n\)을 선택하세요(예: 제곱근이면 2, 세제곱근이면 3). 계산기는 절댓값 \(|z|\), 도(°) 단위의 편각 \(\theta\), 근의 절댓값 \(r^{1/n}\), 그리고 \(n\)개 근 전체를 정리한 표를 보여 줍니다. 주근(\(k = 0\))은 맨 위에 강조 표시됩니다.
공식 풀이
먼저 z를 극형식으로 나타냅니다: \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\), \(\theta = \operatorname{atan2}(b, a)\). 이때 n제곱근은 다음과 같습니다.
$$w_k = \sqrt[n]{r}\left[\cos\!\left(\frac{\theta + 2\pi k}{n}\right) + i\cdot\sin\!\left(\frac{\theta + 2\pi k}{n}\right)\right],\quad (k = 0, 1, \dots, n-1)$$모든 근은 동일한 절댓값 \(r^{1/n}\}을 가지며, 각도만 한 단계마다 \(2\pi/n\)씩 커집니다.
예제로 보기
\(z = -1\)(\(a = -1\), \(b = 0\), \(n = 2\))의 제곱근을 구해 봅시다. 여기서 \(r = 1\)이고 \(\theta = 180°\)입니다. 근의 절댓값은 \(1^{1/2} = 1\)이고, 각도는 \(180°/2 = 90°\)와 \((180° + 360°)/2 = 270°\)입니다. 따라서 근은 \(\cos 90° + i\cdot\sin 90° = \mathbf{i}\)와 \(\cos 270° + i\cdot\sin 270° = \mathbf{-i}\)가 됩니다. 바로 \(-1\)의 두 제곱근이지요.
자주 묻는 질문
왜 근이 n개일까요? 편각에 \(2\pi\)의 배수를 더해도 같은 복소수가 되는데, 이를 \(n\)으로 나누면 값이 반복되기 전까지 서로 다른 각도가 \(n\)개 생기기 때문입니다.
z = 0일 때는요? 0의 근은 0 하나뿐입니다. 계산기는 \(0 + 0i\)를 반환합니다.
각도는 도 단위인가요, 라디안 단위인가요? 결과는 보기 편하도록 도(°) 단위로 표시되지만, 내부 계산은 라디안을 사용합니다.
