다이아몬드 문제란?
다이아몬드 문제(diamond problem)는 이차 삼항식을 인수분해하는 방법을 배울 때 자주 쓰이는 대표적인 대수 연습 문제입니다. 마름모(다이아몬드) 모양의 위쪽에는 곱(P), 아래쪽에는 합(S)이 적혀 있습니다. 여러분이 할 일은 곱하면 P가 되고 더하면 S가 되는 두 옆 숫자 a와 b를 찾는 것이죠. 이 계산기는 그 퍼즐을 단번에 풀어 줍니다.
사용 방법
곱 P(위쪽 숫자)와 합 S(아래쪽 숫자)를 입력하면, 두 수 a와 b를 바로 확인할 수 있습니다. 또한 판별식 값도 함께 보여 주므로, 실수 해가 존재하지 않는 경우인지도 쉽게 알 수 있습니다.
공식 풀이
두 수는 이차방정식 \(x^2 - Sx + P = 0\)의 근입니다. 근의 공식을 적용하면 다음과 같습니다.
$$a,\,b = \frac{S \pm \sqrt{S^2 - 4P}}{2}$$
제곱근 안에 있는 식 \(\Delta = S^2 - 4P\)가 바로 판별식입니다. \(\Delta \ge 0\)이면 두 수는 실수이고, \(\Delta < 0\)이면 실수 해가 존재하지 않습니다(이때 두 수는 복소수가 됩니다).
예제로 풀어보기
곱이 12, 합이 7이라고 해 봅시다. 그러면 \(\Delta = 7^2 - 4 \cdot 12 = 49 - 48 = 1\)이고, \(\sqrt{1} = 1\)입니다. 따라서 \(a = (7 + 1)/2 = 4\), \(b = (7 - 1)/2 = 3\)이 됩니다. 실제로 \(4 \times 3 = 12\), \(4 + 3 = 7\)로 딱 맞아떨어지죠. 인수분해한 형태는 \((x + 3)(x + 4)\)입니다.
자주 묻는 질문
해가 없는 경우도 있나요? \(S^2 < 4P\)이면 판별식이 음수가 되어, 두 조건을 동시에 만족하는 실수 두 개를 찾을 수 없습니다.
음수나 소수도 입력할 수 있나요? 네. 음수 곱이나 정수가 아닌 결과를 포함해, 모든 실수 입력을 처리할 수 있습니다.
a와 b의 순서가 바뀌어도 되나요? 네. \(a+b\)와 \(a \cdot b\) 모두 대칭식이기 때문에 순서는 상관없습니다.
