몬티 홀 문제란?
몬티 홀 문제는 미국의 인기 게임 쇼 "Let's Make a Deal(거래를 합시다)"에서 비롯된 유명한 확률 퍼즐입니다. 여러 개의 문 중 하나를 골라 자동차를 찾으면 되는데, 나머지 문 뒤에는 염소가 있습니다. 각 문 뒤에 무엇이 있는지 알고 있는 진행자는 당신이 고른 문과 다른 문 하나만 남기고 나머지 문을 모두 열어 염소를 보여준 뒤, 선택을 바꿀 기회를 줍니다. 직관과는 반대로, 선택을 바꾸면 자동차에 당첨될 확률이 크게 높아집니다.
계산기 사용 방법
게임에 사용되는 문의 개수를 입력하세요(고전적인 버전은 3개입니다). 그러면 처음 고른 문을 그대로 유지했을 때의 당첨 확률과, 열리지 않고 남은 다른 문으로 바꿨을 때의 당첨 확률, 그리고 바꾸는 쪽이 몇 배나 더 유리한지가 즉시 표시됩니다.
공식 설명
처음 문을 고르는 순간, 그 문 뒤에 자동차가 있을 확률은 \(1/d\)입니다. 처음 고른 문의 이 확률은 끝까지 변하지 않습니다. 진행자가 염소가 있는 문을 하나만 남기고 모두 제거하면, 남아 있던 \((d-1)/d\)의 확률이 그 한 개의 다른 문에 그대로 집중됩니다. 따라서:
$$P_{\text{switch}} = \frac{\text{Doors} - 1}{\text{Doors}} \times 100\%, \qquad P_{\text{stay}} = \frac{1}{\text{Doors}} \times 100\%$$P(승리 | 유지) = 1/d, P(승리 | 바꾸기) = (d−1)/d입니다. 문의 개수가 많아질수록 선택을 바꾸는 쪽이 압도적으로 유리해집니다.
예시로 살펴보기
고전적인 3개 문 게임에서는 유지할 때 당첨 확률이 \(1/3 \approx 33.33\%\), 바꿀 때는 \(2/3 \approx 66.67\%\)로 정확히 두 배 차이가 납니다. 문이 100개라면 유지할 때는 단 1%, 바꿀 때는 무려 99%에 달합니다.
자주 묻는 질문
왜 선택을 바꿔도 50대 50이 아닌가요? 진행자의 선택이 무작위가 아니기 때문입니다. 진행자는 언제나 자동차가 있는 문을 피해서 열기 때문에, 그 확률이 열리지 않은 다른 문으로 옮겨갑니다.
문이 3개보다 많아도 성립하나요? 네. 유지할 때의 확률은 항상 \(1/d\)로 고정되므로, 문의 개수가 늘어날수록 바꾸는 쪽의 이점은 더욱 커집니다.
이것이 도박 조언인가요? 아닙니다. 진행자가 항상 염소를 공개하고 항상 선택을 바꿀 기회를 주는 표준 몬티 홀 규칙 아래에서의 순수한 수학적 확률일 뿐입니다.
