푸아송 확률 계산기란?
푸아송 분포는 일정한 시간·공간·부피 구간에서 어떤 사건이 몇 번 발생하는지를 나타내는 모형입니다. 단, 사건들이 서로 독립적으로, 그리고 평균 발생률이 일정하게 일어난다는 전제가 필요합니다. 이 계산기는 사건이 정확히 k번 일어날 확률인 P(X = k)를 비롯해 누적 확률과 꼬리 확률까지 함께 구해 줍니다. 콜센터 전화 수신 건수, 분당 웹사이트 접속 수, 배치당 불량품 수, 경기당 득점 수, 방사성 붕괴 횟수 등을 다룰 때 자주 활용됩니다.
사용 방법
평균 발생률 \(\lambda\)(해당 구간에서 기대되는 사건 수)와 목표 횟수 \(k\)(0 이상의 정수)를 입력하세요. 그러면 정확히 k번 발생할 확률과 함께, 다음 네 가지 관련 확률을 함께 보여 줍니다: \(P(X < k)\), \(P(X \le k)\), \(P(X \ge k)\), \(P(X > k)\). 이때 \(\lambda\)와 \(k\)가 같은 구간을 기준으로 해야 한다는 점을 꼭 기억하세요. 예를 들어 "시간당"에서 "하루당"으로 기준을 바꾼다면 \(\lambda\) 값도 그에 맞게 환산해야 합니다.
공식 풀이
푸아송 확률질량함수는 다음과 같이 표현됩니다.
$$P(X = k) = \frac{\lambda^{\,k}\; e^{-\lambda}}{k!}$$여기서 \(e \approx 2.71828\)은 자연상수(오일러 수)이고, \(k!\)는 \(k\)의 계승(팩토리얼)입니다. \(\lambda^{k}\) 항은 사건 수가 많아질수록 커지고, \(e^{-\lambda}\)는 전체 확률을 1로 맞춰 주는 감쇠 인자이며, \(k!\)로 나누는 것은 사건이 일어나는 순서를 구분하지 않기 위함입니다.
예제로 보기
한 가게에 시간당 평균 \(\lambda = 3\)명의 손님이 온다고 가정하고, 다음 한 시간 동안 정확히 \(k = 2\)명이 올 확률을 구해 봅시다.
$$P(X = 2) = \frac{3^{2} \cdot e^{-3}}{2!} = \frac{9 \times 0.049787}{2} = \frac{0.448084}{2} = \mathbf{0.224042}$$즉 약 22.4%입니다.
자주 묻는 질문
\(\lambda\)는 무엇을 의미하나요? 분포의 평균이자 분산을 동시에 나타내는 값으로, 한 구간당 기대되는 사건 수를 뜻합니다.
\(k\)가 \(\lambda\)보다 클 수도 있나요? 네. \(k\)는 0 이상의 어떤 정수든 될 수 있습니다. 다만 \(k\)가 \(\lambda\)에서 멀어질수록 확률은 점점 작아집니다.
푸아송 모형은 언제 적합한가요? 사건들이 서로 독립적이고, 평균 발생률이 일정하며, 두 사건이 정확히 같은 순간에 동시에 일어날 수 없을 때 적합합니다.
