Qu'est-ce que le calculateur de probabilité de Poisson ?
La loi de Poisson modélise le nombre de fois qu'un événement se produit sur un intervalle fixe de temps, d'espace ou de volume, lorsque ces événements surviennent de façon indépendante et à un rythme moyen constant. Ce calculateur détermine \(P(X = k)\), la probabilité d'observer exactement k événements, ainsi que les probabilités cumulées et de queue. Les applications courantes incluent les appels reçus dans un centre d'appels, les visites d'un site web par minute, les défauts par lot de production, les buts marqués dans un match ou encore le comptage de désintégrations radioactives.
Comment l'utiliser
Saisissez le taux moyen \(\lambda\) (le nombre d'événements attendu sur votre intervalle) et le nombre cible \(k\) (un entier positif ou nul). Le calculateur renvoie la probabilité d'obtenir exactement k événements, ainsi que quatre probabilités associées : \(P(X < k)\), \(P(X \le k)\), \(P(X \ge k)\) et \(P(X > k)\). Veillez à ce que \(\lambda\) et \(k\) se réfèrent au même intervalle : si vous passez de « par heure » à « par jour », ajustez \(\lambda\) en conséquence.
La formule expliquée
La fonction de masse de la loi de Poisson s'écrit $$P(X = k) = \frac{\lambda^{\,k}\; e^{-\lambda}}{k!}$$ où \(e \approx 2{,}71828\) est le nombre d'Euler et \(k!\) la factorielle de \(k\). Le terme \(\lambda^{k}\) augmente avec le nombre d'événements, \(e^{-\lambda}\) agit comme un facteur de décroissance normalisateur, et la division par \(k!\) tient compte du fait que l'ordre des événements n'est pas distinguable.
Exemple concret
Supposons qu'une boutique accueille en moyenne \(\lambda = 3\) clients par heure et que vous souhaitiez connaître la probabilité d'en recevoir exactement \(k = 2\) au cours de l'heure suivante. $$P(X = 2) = \frac{3^{2} \cdot e^{-3}}{2!} = \frac{9 \times 0{,}049787}{2} = \frac{0{,}448084}{2} = \mathbf{0{,}224042}$$ soit environ 22,4 %.
FAQ
Que représente \(\lambda\) ? C'est la moyenne (et aussi la variance) de la loi : le nombre d'événements attendu par intervalle.
\(k\) peut-il être plus grand que \(\lambda\) ? Oui. \(k\) peut être n'importe quel entier positif ou nul ; la probabilité diminue simplement à mesure que \(k\) s'éloigne de \(\lambda\).
Quand le modèle de Poisson est-il adapté ? Lorsque les événements sont indépendants, surviennent à un taux moyen constant et que deux événements ne peuvent pas se produire exactement au même instant.
