ポアソン分布の確率計算機とは？
ポアソン分布は、一定の時間・空間・体積の区間内で、イベントが一定の平均発生率のもと互いに独立して起こるときに、その発生回数をモデル化する確率分布です。この計算機では、ちょうど k 回のイベントが観測される確率 P(X = k) に加えて、累積確率や裾の確率も計算できます。コールセンターへの着信数、1分あたりのWebサイトのアクセス数、1ロットあたりの不良品数、1試合あたりの得点数、放射性崩壊のカウント数など、幅広い場面で活用されています。
使い方
平均発生率 λ（対象とする区間で期待されるイベント回数）と、目標となる回数 k（0以上の整数）を入力してください。計算機は、ちょうど k 回となる確率に加えて、関連する4つの確率（\(P(X < k)\)、\(P(X \le k)\)、\(P(X \ge k)\)、\(P(X > k)\)）を返します。λ と k が同じ区間を指していることを必ず確認してください。たとえば「1時間あたり」から「1日あたり」に切り替える場合は、それに合わせて λ をスケーリングする必要があります。
計算式の解説
ポアソン分布の確率質量関数は次のように表されます。
$$P(X = k) = \frac{\lambda^{\,k}\; e^{-\lambda}}{k!}$$ここで \(e \approx 2.71828\) はネイピア数（自然対数の底）、\(k!\) は \(k\) の階乗です。\(\lambda^{k}\) の項はイベント回数が増えるほど大きくなり、\(e^{-\lambda}\) は確率を正規化する減衰係数、\(k!\) で割ることでイベントの順序が区別できないことを考慮しています。
計算例
あるお店に1時間あたり平均 \(\lambda = 3\) 人の来客があり、次の1時間にちょうど \(k = 2\) 人が来る確率を求めたいとします。
$$P(X = 2) = \frac{3^{2} \cdot e^{-3}}{2!} = \frac{9 \times 0.049787}{2} = \frac{0.448084}{2} = \mathbf{0.224042}$$つまり約22.4%となります。
よくある質問
λ は何を表しますか？ 分布の平均（同時に分散でもあります）、すなわち1区間あたりに期待されるイベント回数です。
k は λ より大きくてもよいですか？ はい。k は0以上の任意の整数を取れます。ただし k が λ から大きく離れるほど、確率は小さくなります。
どんなときにポアソンモデルが適していますか？ イベントが互いに独立しており、一定の平均発生率で起こり、かつ2つのイベントがまったく同じ瞬間には起こらない場合に適しています。
