Poisson Olasılık Hesaplama Aracı Nedir?
Poisson dağılımı, belirli bir zaman, alan veya hacim aralığında bir olayın kaç kez gerçekleştiğini modeller; burada olayların birbirinden bağımsız ve sabit bir ortalama hızda meydana geldiği varsayılır. Bu hesaplama aracı, tam olarak k olay gözlemleme olasılığı olan P(X = k) değerini, kümülatif ve kuyruk olasılıklarıyla birlikte hesaplar. Yaygın kullanım alanları arasında çağrı merkezine gelen aramalar, dakika başına web sitesi ziyaretleri, parti başına hatalı ürün sayısı, maç başına gol ve radyoaktif bozunma sayımları yer alır.
Nasıl Kullanılır?
Ortalama oran λ değerini (aralığınız için beklenen olay sayısı) ve hedef sayı k değerini (negatif olmayan bir tam sayı) girin. Hesaplayıcı, tam olarak k olay olma olasılığının yanı sıra dört ilgili olasılık daha verir: \(P(X < k)\), \(P(X \le k)\), \(P(X \ge k)\) ve \(P(X > k)\). λ ve k'nın aynı aralığa karşılık geldiğinden emin olun — "saat başına" yerine "gün başına" gibi bir aralığa geçiyorsanız λ değerini buna göre ölçeklendirin.
Formülün Açıklaması
Poisson olasılık kütle fonksiyonu şöyledir: $$P(X = \text{k}) = \frac{\lambda^{\,\text{k}}\; e^{-\lambda}}{\text{k}!}$$ Burada \(e \approx 2{,}71828\) Euler sayısıdır ve \(\text{k}!\), k'nın faktöriyelidir. \(\lambda^{\text{k}}\) terimi olay sayısı arttıkça büyür, \(e^{-\lambda}\) normalleştirici bir azalma çarpanıdır ve \(\text{k}!\)'ya bölmek, olayların ayırt edilemeyen sıralamasını hesaba katar.
Çözümlü Örnek
Diyelim ki bir mağazaya saatte ortalama \(\lambda = 3\) müşteri geliyor ve önümüzdeki bir saatte tam olarak \(\text{k} = 2\) müşteri gelme olasılığını merak ediyorsunuz. $$P(X = 2) = \frac{3^{2} \cdot e^{-3}}{2!} = \frac{9 \times 0{,}049787}{2} = \frac{0{,}448084}{2} = \mathbf{0{,}224042}$$ yani yaklaşık %22,4.
Sıkça Sorulan Sorular
λ neyi ifade eder? Dağılımın ortalamasıdır (ve aynı zamanda varyansıdır) — yani aralık başına beklenen olay sayısı.
k, λ'dan büyük olabilir mi? Evet. k, negatif olmayan herhangi bir tam sayı olabilir; k, λ'dan uzaklaştıkça olasılık yalnızca küçülür.
Poisson modeli ne zaman uygundur? Olaylar birbirinden bağımsız olduğunda, sabit bir ortalama hızda meydana geldiğinde ve iki olay tam olarak aynı anda gerçekleşemediğinde uygundur.
