¿Qué es la calculadora de probabilidad de Poisson?
La distribución de Poisson modela el número de veces que ocurre un suceso en un intervalo fijo de tiempo, espacio o volumen, siempre que esos sucesos se produzcan de forma independiente y a una tasa media constante. Esta calculadora obtiene P(X = k), la probabilidad de observar exactamente k sucesos, junto con las probabilidades acumuladas y de cola. Algunos usos habituales son las llamadas que llegan a un centro de atención, las visitas a una web por minuto, los defectos por lote, los goles por partido o los conteos de desintegración radiactiva.
Cómo usarla
Introduce la tasa media λ (el número esperado de sucesos en tu intervalo) y el conteo objetivo k (un número entero no negativo). La calculadora devuelve la probabilidad de exactamente k sucesos más otras cuatro probabilidades relacionadas: \(P(X < k)\), \(P(X \le k)\), \(P(X \ge k)\) y \(P(X > k)\). Asegúrate de que λ y k se refieran al mismo intervalo: si pasas de «por hora» a «por día», ajusta λ en la misma proporción.
La fórmula explicada
La función de masa de probabilidad de Poisson es $$P(X = \text{k}) = \frac{\lambda^{\,\text{k}}\; e^{-\lambda}}{\text{k}!}$$ donde \(e \approx 2{,}71828\) es el número de Euler y \(\text{k}!\) es el factorial de \(\text{k}\). El término \(\lambda^{\text{k}}\) crece a medida que aumentan los sucesos, \(e^{-\lambda}\) actúa como factor de decaimiento que normaliza el resultado, y dividir entre \(\text{k}!\) tiene en cuenta que el orden de los sucesos es indistinguible.
Ejemplo resuelto
Supongamos que una tienda recibe una media de \(\lambda = 3\) clientes por hora y quieres saber la probabilidad de que entren exactamente \(\text{k} = 2\) clientes en la próxima hora. $$P(X = 2) = \frac{3^{2} \cdot e^{-3}}{2!} = \frac{9 \times 0{,}049787}{2} = \frac{0{,}448084}{2} = \mathbf{0{,}224042}$$ es decir, alrededor del 22,4 %.
Preguntas frecuentes
¿Qué representa λ? Es la media (y también la varianza) de la distribución: el número esperado de sucesos por intervalo.
¿Puede k ser mayor que λ? Sí. k puede ser cualquier entero no negativo; la probabilidad simplemente se reduce a medida que k se aleja de λ.
¿Cuándo conviene usar el modelo de Poisson? Cuando los sucesos son independientes, ocurren a una tasa media constante y dos sucesos no pueden producirse exactamente en el mismo instante.
