주사위 확률 계산기란?
이 도구는 여러 개의 주사위를 한 번에 던졌을 때 원하는 합이 나올 정확한 확률을 계산해 줍니다. 주사위 개수(\(n\)), 각 주사위의 면 수(\(s\)), 그리고 목표로 하는 합을 입력하면 됩니다. 계산기는 해당 합을 만드는 모든 눈의 조합을 세고 이를 전체 가능한 경우의 수로 나누어 확률, 백분율, 그리고 배당률(odds against)을 알려 줍니다.
사용 방법
주사위 개수, 주사위 한 개의 면 수(일반 주사위는 6, 하지만 2부터 100까지 어떤 값이든 가능합니다), 그리고 목표 합을 입력하세요. 계산 버튼을 누르면 유리한 경우의 수, 전체 경우의 수, 소수 확률, 백분율, 배당률이 표시됩니다. 가능한 합의 범위(\(n\)부터 \(n\times s\)까지)도 함께 보여 주므로 어떤 목표값이 애초에 나올 수 있는지 바로 알 수 있습니다.
공식 설명
면이 \(s\)개인 주사위 \(n\)개를 던지면 똑같이 발생할 수 있는 순서 있는 경우의 수가 총 \(s^{n}\)개입니다. 특정 합이 나올 확률은 그 합을 만드는 경우의 수를 \(s^{n}\)으로 나눈 값입니다.
$$P(\text{sum}=T) = \frac{N(T)}{s^{n}}$$$$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} n &= \text{Number of dice} \\ s &= \text{Sides per die} \\ T &= \text{Target sum} \\ N(T) &= \text{ways to roll sum } T \text{ with } n \text{ dice} \end{aligned} \right.$$계산기는 동적 계획법(dynamic programming)을 이용해 주사위를 하나씩 더해 가며 각 누적 합에 도달하는 경우의 수를 차곡차곡 쌓아 올립니다. 덕분에 주사위가 많아도 오차 없이 정확한 값을 구할 수 있습니다.
예제로 보기
일반 6면 주사위 두 개(\(n = 2\), \(s = 6\))를 던져 합이 7이 나오는 경우를 생각해 봅시다. 가능한 조합은 (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)로 총 6가지입니다. 전체 경우의 수는 \(6^{2} = 36\)입니다. 따라서 $$P = \frac{6}{36} = 0.1667$$ 즉 16.67%입니다. 주사위 2개(2d6)를 던질 때 단일 합으로는 7이 가장 잘 나오는 값입니다.
자주 묻는 질문
2d6에서 왜 합 7이 가장 자주 나올까요? 다른 어떤 합보다 7을 만드는 눈의 조합이 가장 많기 때문에, 종 모양 분포의 꼭대기에 위치하게 됩니다.
"배당률(odds against)"은 무슨 뜻인가요? 불리한 경우의 수와 유리한 경우의 수의 비율을 말합니다. 배당률이 5:1이라면, 이기는 경우 하나당 지는 경우가 다섯 개라는 의미입니다.
범위를 벗어난 합도 나올 수 있나요? 아니요. 주사위 \(n\)개로는 \(n\)보다 작거나 \(n\times s\)보다 큰 합이 나올 수 없으므로, 그 범위를 벗어난 목표값의 확률은 항상 0입니다.
