¿Qué es el problema de Monty Hall?
El problema de Monty Hall es un famoso acertijo de probabilidad inspirado en el concurso de televisión «Let's Make a Deal» (conocido en muchos países hispanohablantes por adaptaciones como «Trato hecho»). Eliges una entre varias puertas con la esperanza de encontrar un coche; detrás de las demás hay cabras. El presentador, que sabe qué hay tras cada puerta, abre todas las demás salvo una para mostrar las cabras y te ofrece la oportunidad de cambiar tu elección. Por contraintuitivo que parezca, cambiar mejora notablemente tus probabilidades de ganar.
Cómo usar esta calculadora
Introduce el número de puertas del juego (la versión clásica utiliza 3). La calculadora te muestra al instante tu probabilidad de ganar si te quedas con tu elección original frente a la de cambiar a la otra puerta que sigue cerrada, además de cuántas veces más probable es ganar si cambias.
La fórmula explicada
Cuando eliges por primera vez, la probabilidad de que el coche esté detrás de tu puerta es \(1/d\). Esa probabilidad nunca cambia para tu puerta original. A continuación, el presentador elimina todas las puertas con cabra menos una, concentrando la probabilidad restante \((d-1)/d\) en esa única puerta alternativa. Por lo tanto:
$$P_{\text{switch}} = \frac{\text{Doors} - 1}{\text{Doors}} \times 100\%, \qquad P_{\text{stay}} = \frac{1}{\text{Doors}} \times 100\%$$
P(ganar | quedarse) = \(1/d\) y P(ganar | cambiar) = \((d-1)/d\). A medida que aumenta el número de puertas, cambiar resulta abrumadoramente más ventajoso.
Ejemplo resuelto
En el juego clásico de 3 puertas: quedarte gana \(1/3 \approx 33{,}33\,\%\) de las veces, mientras que cambiar gana \(2/3 \approx 66{,}67\,\%\) de las veces, es decir, exactamente el doble de probabilidades. Con 100 puertas, quedarte gana apenas un \(1\,\%\), mientras que cambiar gana el \(99\,\%\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué cambiar no da un 50/50? Porque la elección del presentador no es aleatoria: siempre evita el coche, lo que traslada la probabilidad a la puerta que queda cerrada.
¿Funciona con más de 3 puertas? Sí. La ventaja de cambiar crece a medida que aumentan las puertas, ya que quedarse siempre se mantiene en \(1/d\).
¿Es esto un consejo para apostar? No: es pura probabilidad matemática bajo las reglas estándar de Monty Hall, en las que el presentador siempre revela cabras y siempre ofrece la posibilidad de cambiar.
