Qu'est-ce que le problème de Monty Hall ?
Le problème de Monty Hall est une célèbre énigme de probabilités inspirée du jeu télévisé américain « Let's Make a Deal ». Vous choisissez l'une de plusieurs portes en espérant y trouver une voiture ; derrière les autres se cachent des chèvres. L'animateur, qui sait ce que dissimule chaque porte, ouvre alors toutes les autres portes sauf une pour dévoiler des chèvres, puis vous propose de modifier votre choix. Contre toute intuition, changer de porte augmente considérablement vos chances de gagner.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez le nombre de portes en jeu (la version classique en compte 3). Le calculateur affiche instantanément votre probabilité de gagner si vous conservez votre choix initial, par rapport à celle obtenue en changeant pour l'unique porte restée fermée, ainsi que le facteur par lequel changer multiplie vos chances de l'emporter.
La formule expliquée
Au moment de votre premier choix, la probabilité que la voiture se trouve derrière votre porte est de \(1/d\). Cette probabilité ne change jamais pour votre porte initiale. L'animateur élimine ensuite toutes les portes « chèvre » sauf une, concentrant ainsi la probabilité restante de \((d-1)/d\) sur cette seule autre porte. On a donc :
$$P_{\text{switch}} = \frac{\text{Doors} - 1}{\text{Doors}} \times 100\%, \qquad P_{\text{stay}} = \frac{1}{\text{Doors}} \times 100\%$$P(gain | rester) = 1/d et P(gain | changer) = (d−1)/d. Plus le nombre de portes augmente, plus changer devient avantageux de façon écrasante.
Exemple concret
Pour le jeu classique à 3 portes : rester fait gagner \(1/3 \approx 33{,}33\,\%\) du temps, tandis que changer fait gagner \(2/3 \approx 66{,}67\,\%\) du temps — soit exactement le double des chances. Avec 100 portes, rester ne rapporte que \(1\,\%\) de chances, alors que changer en offre \(99\,\%\).
FAQ
Pourquoi changer ne donne-t-il pas une chance de 50/50 ? Parce que le choix de l'animateur n'est pas aléatoire : il évite toujours la voiture, ce qui reporte la probabilité sur la porte restée fermée.
Cela fonctionne-t-il avec plus de 3 portes ? Oui. L'avantage de changer augmente à mesure que le nombre de portes croît, puisque rester reste toujours à \(1/d\).
Est-ce un conseil pour parier ? Non — il s'agit de pure probabilité mathématique selon les règles standard de Monty Hall, où l'animateur dévoile toujours des chèvres et propose toujours de changer de porte.
