ما هي مشكلة مونتي هول؟
مشكلة مونتي هول أحجية شهيرة في علم الاحتمالات مستوحاة من برنامج المسابقات الأمريكي "Let's Make a Deal". تخيّل أن أمامك عدة أبواب، تختار أحدها على أمل العثور خلفه على سيارة، بينما تختبئ خلف الأبواب الأخرى ماعز. ثم يقوم مقدّم البرنامج — وهو يعرف ما خلف كل باب — بفتح جميع الأبواب الأخرى عدا واحدًا ليكشف عن الماعز، ويمنحك فرصة لتغيير اختيارك. والمفاجأة المخالفة للحدس أن التبديل يرفع فرص فوزك بشكل كبير.
كيف تستخدم هذه الحاسبة؟
أدخل عدد الأبواب في اللعبة (النسخة الكلاسيكية تستخدم 3 أبواب). تعرض لك الحاسبة فورًا احتمال فوزك إذا بقيت على اختيارك الأول مقابل احتمال فوزك إذا بدّلت إلى الباب المتبقي المغلق، إضافةً إلى عدد المرّات التي يكون فيها التبديل أكثر احتمالًا للفوز.
شرح المعادلة
عند اختيارك الأول، يكون احتمال وجود السيارة خلف بابك هو \(1/d\)، وهذا الاحتمال لا يتغيّر أبدًا بالنسبة لبابك الأصلي. بعد ذلك يستبعد المقدّم كل أبواب الماعز عدا واحدًا، فتتركّز بقية الاحتمال \((d-1)/d\) كاملةً على ذلك الباب الوحيد المتبقي. وبالتالي:
$$P_{\text{stay}} = \frac{1}{d} \times 100\%, \qquad P_{\text{switch}} = \frac{d-1}{d} \times 100\%$$احتمال الفوز عند البقاء = \(1/d\) واحتمال الفوز عند التبديل = \((d-1)/d\). وكلما زاد عدد الأبواب، أصبح التبديل أفضل بفارق كبير.
مثال محلول
في اللعبة الكلاسيكية ذات الأبواب الثلاثة: يفوز البقاء بنسبة \(1/3 \approx 33.33\%\) من المرّات، بينما يفوز التبديل بنسبة \(2/3 \approx 66.67\%\) — أي ضعف الفرصة تمامًا. ومع 100 باب، لا يربح البقاء سوى \(1\%\) بينما يربح التبديل \(99\%\).
الأسئلة الشائعة
لماذا لا يمنح التبديل احتمالًا متساويًا 50/50؟ لأن اختيار المقدّم ليس عشوائيًا — فهو يتجنّب السيارة دائمًا، وهذا ينقل الاحتمال إلى الباب المغلق المتبقّي.
هل تنطبق المسألة على أكثر من 3 أبواب؟ نعم. تزداد ميزة التبديل مع زيادة عدد الأبواب، لأن احتمال البقاء يبقى ثابتًا عند \(1/d\).
هل هذه نصيحة في المراهنات؟ لا — إنها احتمالات رياضية بحتة وفق قواعد مونتي هول القياسية، حيث يكشف المقدّم دائمًا عن الماعز ويعرض دائمًا فرصة التبديل.
