Bài toán Monty Hall là gì?
Bài toán Monty Hall là một câu đố xác suất nổi tiếng, lấy cảm hứng từ chương trình truyền hình "Let's Make a Deal" của Mỹ. Bạn chọn một trong nhiều cánh cửa với hy vọng tìm thấy chiếc ô tô; phía sau những cửa còn lại là những con dê. Người dẫn chương trình — vốn biết rõ sau mỗi cửa có gì — sẽ mở tất cả các cửa khác trừ một cửa để lộ ra những con dê, rồi cho bạn cơ hội đổi sang lựa chọn còn lại. Trái với trực giác, việc đổi cửa lại làm tăng đáng kể cơ hội chiến thắng của bạn.
Cách sử dụng máy tính
Hãy nhập số cửa trong trò chơi (phiên bản kinh điển dùng 3 cửa). Máy tính sẽ lập tức hiển thị xác suất thắng nếu bạn giữ nguyên lựa chọn ban đầu so với khi đổi sang cánh cửa chưa mở còn lại, kèm theo việc đổi cửa giúp bạn tăng cơ hội thắng lên gấp bao nhiêu lần.
Giải thích công thức
Ngay khi chọn lần đầu, khả năng chiếc ô tô nằm sau cửa của bạn là \(1/d\). Xác suất này không bao giờ thay đổi đối với cửa bạn chọn ban đầu. Sau đó, người dẫn chương trình loại bỏ tất cả các cửa có dê chỉ trừ một cửa, dồn toàn bộ phần xác suất còn lại \((d-1)/d\) vào đúng một cánh cửa duy nhất kia. Vì vậy:
$$P_{\text{switch}} = \frac{\text{Doors} - 1}{\text{Doors}} \times 100\%, \qquad P_{\text{stay}} = \frac{1}{\text{Doors}} \times 100\%$$
P(thắng | giữ nguyên) = \(1/d\) và P(thắng | đổi cửa) = \((d-1)/d\). Số cửa càng nhiều thì việc đổi cửa càng có lợi vượt trội.
Ví dụ minh họa
Với trò chơi kinh điển 3 cửa: giữ nguyên thắng \(1/3 \approx 33{,}33\%\) số lần, trong khi đổi cửa thắng \(2/3 \approx 66{,}67\%\) số lần — cao gấp đôi tỷ lệ. Với 100 cửa, giữ nguyên chỉ thắng vỏn vẹn \(1\%\) còn đổi cửa thắng tới \(99\%\).
Câu hỏi thường gặp
Tại sao đổi cửa lại không phải là cơ hội 50/50? Bởi vì lựa chọn của người dẫn chương trình không hề ngẫu nhiên — ông ấy luôn tránh chiếc ô tô, nhờ đó dồn xác suất sang cánh cửa chưa mở.
Bài toán có đúng với nhiều hơn 3 cửa không? Có. Lợi thế của việc đổi cửa càng lớn khi số cửa tăng lên, vì giữ nguyên thì xác suất luôn dừng ở \(1/d\).
Đây có phải lời khuyên cờ bạc không? Không — đây hoàn toàn là xác suất toán học thuần túy theo luật chơi Monty Hall tiêu chuẩn, trong đó người dẫn luôn để lộ những con dê và luôn cho phép đổi cửa.
