什么是三门问题（蒙提霍尔问题）？
三门问题，又称蒙提霍尔问题（Monty Hall Problem），是一道源自美国电视游戏节目《Let's Make a Deal》的经典概率难题。游戏中你要从若干扇门里选一扇，希望选中后面藏着汽车的那扇；其余门后面都是山羊。主持人知道每扇门后面是什么，他会把你没选的门中除一扇外全部打开，露出后面的山羊，然后问你是否愿意改选剩下那扇没打开的门。结果出人意料：换门会大幅提高你赢得汽车的概率。
如何使用本计算器
输入游戏中门的总数（经典版本为 3 扇）。计算器会立刻算出两种结果的胜率：坚持最初选择（不换门）的中奖概率，以及改选另一扇未打开门（换门）的中奖概率，并告诉你换门相比不换门胜率高出多少倍。
公式详解
第一次选择时，汽车正好在你这扇门后的概率是 \(1/d\)，而且这个概率自始至终不会改变。随后主持人把所有山羊门（只留一扇）逐一打开，于是剩余的 \((d-1)/d\) 概率就全部"集中"到了那唯一一扇没打开的门上。因此：
P(不换门中奖) = 1/d，P(换门中奖) = (d−1)/d。门越多，换门的优势就越压倒性。
$$P_{\text{switch}} = \frac{\text{Doors} - 1}{\text{Doors}} \times 100\%, \qquad P_{\text{stay}} = \frac{1}{\text{Doors}} \times 100\%$$
实例演算
以经典的 3 门游戏为例：不换门的中奖率为 \(1/3 \approx 33.33\%\)，而换门的中奖率为 \(2/3 \approx 66.67\%\)——整整翻了一倍。如果有 100 扇门，不换门只有 1% 的胜率，换门却高达 99%。
常见问题
为什么换门不是五五开？因为主持人开门并非随机——他每次都会刻意避开汽车，于是把概率"转移"到了那扇没打开的门上。
门超过 3 扇也成立吗？成立。门数越多，换门的优势越大，因为不换门的胜率始终停留在 \(1/d\)。
这算是赌博建议吗？不算——这纯粹是标准三门规则下的数学概率推导：主持人总是露出山羊，并且每次都给你换门的机会。
