제1종 체비쇼프 다항식 T_n(x) 표 계산기

계산 입력

n (차수)

x의 시작값

증가폭 (step)

반복 횟수 (행 수)

결과

제1종 체비쇼프 다항식

T_3(x)

101 rows computed

차수 n3

T_n(x) 최솟값-1

T_n(x) 최댓값1

x	T_3(x)
-1	-1
-0.98	-0.824768
-0.96	-0.658944
-0.94	-0.502336
-0.92	-0.354752
-0.9	-0.216
-0.88	-0.085888
-0.86	0.035776
-0.84	0.149184
-0.82	0.254528
-0.8	0.352
-0.78	0.441792
-0.76	0.524096
-0.74	0.599104
-0.72	0.667008
-0.7	0.728
-0.68	0.782272
-0.66	0.830016
-0.64	0.871424
-0.62	0.906688
-0.6	0.936
-0.58	0.959552
-0.56	0.977536
-0.54	0.990144
-0.52	0.997568
-0.5	1
-0.48	0.997632
-0.46	0.990656
-0.44	0.979264
-0.42	0.963648
-0.4	0.944
-0.38	0.920512
-0.36	0.893376
-0.34	0.862784
-0.32	0.828928
-0.3	0.792
-0.28	0.752192
-0.26	0.709696
-0.24	0.664704
-0.22	0.617408
-0.2	0.568
-0.18	0.516672
-0.16	0.463616
-0.14	0.409024
-0.12	0.353088
-0.1	0.296
-0.08	0.237952
-0.06	0.179136
-0.04	0.119744
-0.02	0.059968
0	-0
0.02	-0.059968
0.04	-0.119744
0.06	-0.179136
0.08	-0.237952
0.1	-0.296
0.12	-0.353088
0.14	-0.409024
0.16	-0.463616
0.18	-0.516672
0.2	-0.568
0.22	-0.617408
0.24	-0.664704
0.26	-0.709696
0.28	-0.752192
0.3	-0.792
0.32	-0.828928
0.34	-0.862784
0.36	-0.893376
0.38	-0.920512
0.4	-0.944
0.42	-0.963648
0.44	-0.979264
0.46	-0.990656
0.48	-0.997632
0.5	-1
0.52	-0.997568
0.54	-0.990144
0.56	-0.977536
0.58	-0.959552
0.6	-0.936
0.62	-0.906688
0.64	-0.871424
0.66	-0.830016
0.68	-0.782272
0.7	-0.728
0.72	-0.667008
0.74	-0.599104
0.76	-0.524096
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0.82	-0.254528
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0.94	0.502336
0.96	0.658944
0.98	0.824768
1	1

제1종 체비쇼프 다항식이란?

\(T_n(x)\)로 표기하는 제1종 체비쇼프 다항식은 수치해석, 근사 이론, 신호 처리, 디지털 필터 설계 전반에서 등장하는 직교 다항식의 한 종류입니다. 이 계산기는 차수 \(n\), 시작 \(x\) 값, 증가폭, 행 수를 받아 원하는 \(x\) 구간에 대한 \(T_n(x)\) 값의 표를 만들어 줍니다. 순수 수학 도구이므로 국가나 지역에 따른 규칙 없이 어디서나 동일하게 적용됩니다.

[-1, 1] 구간에서 \(T_0\)부터 \(T_4\)까지의 그래프, 모두 -1과 1 사이에서 진동.

사용 방법

차수 \(n\)(0, 1, 2, 3… 과 같은 음이 아닌 정수)을 입력하세요. \(x\)의 시작값을 정합니다(표준 정의역은 -1부터 1까지이지만, 점화식 자체는 임의의 실수 \(x\)에 대해 작동합니다). 각 행마다 \(x\)에 더해질 증가폭(step)과 생성할 행 수(반복 횟수)를 선택하세요. 기본 설정인 \(\text{initialX} = -1\), \(\text{step} = 0.02\), \(\text{rows} = 101\)은 \(x\)를 -1.00에서 +1.00까지(양 끝 포함) 훑어 나갑니다.

공식

여기서 사용하는 안정적인 방법은 다음의 3항 점화식입니다.

$$T_0(x) = 1, \quad T_1(x) = x, \quad \text{그리고 } k \ge 2 \text{일 때 } T_k(x) = 2x \cdot T_{k-1}(x) - T_{k-2}(x).$$

이와 동등하게, \(-1 \le x \le 1\) 구간에서는 삼각함수 형태인 $$T_n(x) = \cos(n \cdot \arccos x)$$로도 나타낼 수 있습니다. 처음 몇 개의 다항식을 명시적으로 쓰면 \(T_2(x) = 2x^2 - 1\), \(T_3(x) = 4x^3 - 3x\), \(T_4(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1\) 입니다. [-1, 1] 구간에서는 항상 \(|T_n(x)| \le 1\)이 성립하며, 그 범위를 벗어나면 값의 크기가 급격히 커집니다.

삼항 점화식: 각 \(T_n\)은 \(T_{n-1}\)과 \(T_{n-2}\)로 만들어진다.

계산 예시

\(n = 3\)일 때 다항식은 \(T_3(x) = 4x^3 - 3x\) 입니다. \(x = -1\)에서는 \(4(-1) - 3(-1) = -1\), \(x = -0.5\)에서는 \(4(-0.125) + 1.5 = 1\), \(x = 0\)에서는 0, \(x = 0.5\)에서는 \(0.5 - 1.5 = -1\), \(x = 1\)에서는 \(4 - 3 = 1\) 입니다. 따라서 \(\text{initialX} = -1\), \(\text{step} = 0.5\), \(\text{rows} = 5\)로 만든 표는 -1, 1, 0, -1, 1 이라는 수열을 보여 줍니다.

자주 묻는 질문

\(n\)을 0으로 둘 수 있나요? 네. 모든 \(x\)에 대해 \(T_0(x) = 1\)이므로 모든 행에 1이 표시됩니다.

\(x\)가 [-1, 1] 범위를 벗어나도 되나요? 됩니다. 점화식은 (값이 커지더라도) 여전히 올바른 결과를 계산합니다. 다만 삼각함수 형태는 \(|x| \le 1\)에서만 유효합니다.

증가폭이 0이면 어떻게 되나요? 모든 행이 같은 \(x\) 값을 반복합니다. 허용되는 입력이지만 값이 일정한 표가 만들어집니다.