이 계산기로 할 수 있는 것
이 도구는 입력한 음이 아닌 정수 n에 대해 부호 있는 제1종 스털링 수 \(s(n,k)\)의 한 행 전체를 계산합니다. \(k = 0, 1, 2, \ldots, n\)에 해당하는 모든 값을 표로 출력하며, 그 행의 부호 합과 절댓값 합도 함께 보여줍니다. 여기서는 부호 규약을 사용하므로 \(s(n,k)\)는 양수일 수도 음수일 수도 있습니다. 부호 없는 수(또는 "순환 개수") \(c(n,k) = |s(n,k)|\)는 n개의 원소를 정확히 k개의 서로소 순환(cycle)으로 나누는 순열의 개수를 세며, \(s(n,k) = (-1)^{n-k} c(n,k)\) 관계로 연결됩니다.
공식
부호 있는 제1종 스털링 수는 하강 계승 \((x)_n = x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1) = \sum_k s(n,k)\, x^k\) 전개에서 나타나는 계수입니다. 이들은 점화식 $$s(\text{n},\,k) = s(\text{n}-1,\,k-1) - (\text{n}-1)\,s(\text{n}-1,\,k)$$를 만족하며, 초기값은 \(s(0,0) = 1\), \(n \ge 1\)일 때 \(s(n,0) = 0\), 그리고 \(k < 0\) 또는 \(k > n\)일 때 \(s(n,k) = 0\)입니다. 또한 \(s(n,n) = 1\)은 항상 성립합니다.
사용 방법
0부터 25 사이의 정수 n을 입력하고 실행하세요. 계산기는 \(n = 0\)일 때 \([1]\)에서 시작해 동적 계획법으로 각 행을 차례로 구성한 뒤 마지막 행을 읽어 냅니다. 부호 합(\(n \ge 2\)일 때 0)과 절댓값 합(\(n!\)과 같음)을 결과가 맞는지 빠르게 확인하는 용도로 활용해 보세요.
예제 풀이 (n = 5)
각 행을 구성해 보면 다음과 같습니다. \(n=1\)이면 \([0, 1]\), \(n=2\)이면 \([0, -1, 1]\), \(n=3\)이면 \([0, 2, -3, 1]\), \(n=4\)이면 \([0, -6, 11, -6, 1]\), 그리고 \(n=5\)이면 \([0, 24, -50, 35, -10, 1]\)입니다. 검산: $$|0|+|24|+|50|+|35|+|10|+|1| = 120 = 5!$$이고, 부호 합은 $$0+24-50+35-10+1 = 0$$입니다.
자주 묻는 질문
부호 있는 값인가요, 없는 값인가요? 이 도구는 부호 있는 값을 반환합니다. 부호 없는 순환 개수 \(c(n,k)\)를 얻으려면 절댓값을 취하면 됩니다.
부호 합이 왜 0인가요? 하강 계승에 \(x = 1\)을 대입하면 \(n \ge 2\)일 때 \((1)_n = 0\)이 되는데, 이것이 바로 \(s(n,k)\) 한 행의 합과 같기 때문입니다.
n의 최댓값은 왜 제한되어 있나요? 값이 계승(factorial) 속도로 커져 절댓값이 매우 빠르게 커집니다. 표를 읽기 좋게 유지하고 계산을 안정적으로 하기 위해 n을 25까지로 제한했습니다.
