Ce que fait ce calculateur
Cet outil calcule la ligne complète des nombres de Stirling signés de première espèce, notés \(s(n,k)\), pour un entier naturel \(n\) que vous indiquez. Il affiche dans une table chaque valeur pour \(k = 0, 1, 2, \ldots, n\), accompagnée de la somme signée de la ligne et de la somme des valeurs absolues. C'est la convention signée qui est retenue ici : \(s(n,k)\) peut être positif ou négatif. Les nombres non signés (ou « nombres de cycles ») \(c(n,k) = |s(n,k)|\) comptent les permutations de \(n\) éléments comportant exactement \(k\) cycles disjoints ; ils sont liés aux précédents par la relation \(s(n,k) = (-1)^{n-k}\, c(n,k)\).
La formule
Les nombres de Stirling signés de première espèce sont les coefficients du développement de la factorielle décroissante \((x)_n = x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1) = \sum_k s(n,k)\, x^k\). Ils vérifient la relation de récurrence $$s(\text{n},\,k) = s(\text{n}-1,\,k-1) - (\text{n}-1)\,s(\text{n}-1,\,k)$$ avec les cas de base \(s(0,0) = 1\), \(s(n,0) = 0\) pour \(n \geq 1\), et \(s(n,k) = 0\) lorsque \(k < 0\) ou \(k > n\). On notera que l'on a toujours \(s(n,n) = 1\).
Mode d'emploi
Saisissez un entier \(n\) compris entre 0 et 25, puis validez. Le calculateur construit les lignes par programmation dynamique, en partant de \([1]\) pour \(n = 0\), puis lit la dernière ligne obtenue. Servez-vous de la somme signée (égale à 0 pour \(n \geq 2\)) et de la somme absolue (égale à \(n!\)) comme vérifications rapides de cohérence.
Exemple détaillé (n = 5)
Construction des lignes : \(n=1\) donne \([0, 1]\) ; \(n=2\) donne \([0, -1, 1]\) ; \(n=3\) donne \([0, 2, -3, 1]\) ; \(n=4\) donne \([0, -6, 11, -6, 1]\) ; et \(n=5\) donne \([0, 24, -50, 35, -10, 1]\). Vérification : $$|0|+|24|+|50|+|35|+|10|+|1| = 120 = 5!$$ et la somme signée $$0+24-50+35-10+1 = 0.$$
FAQ
Signés ou non signés ? Cet outil renvoie les valeurs signées. Pour obtenir les nombres de cycles non signés \(c(n,k)\), il suffit d'en prendre la valeur absolue.
Pourquoi la somme signée vaut-elle 0 ? En substituant \(x = 1\) dans la factorielle décroissante, on obtient \((1)_n = 0\) pour \(n \geq 2\), ce qui correspond précisément à la somme de la ligne des \(s(n,k)\).
Pourquoi le n maximal est-il limité ? Les valeurs croissent de façon factorielle : les ordres de grandeur deviennent donc très vite énormes. On plafonne \(n\) à 25 afin de conserver une table lisible et des calculs fiables.
