Ce que fait ce calculateur
Cet outil dresse la table des fonctions de Kelvin de première espèce, \(\mathrm{ber}_v(x)\) et \(\mathrm{bei}_v(x)\), pour un ordre (ou degré) \(v\) choisi, sur un balayage de valeurs de \(x\). Ces fonctions correspondent aux parties réelle et imaginaire de la fonction de Bessel \(J_v\) évaluée sur l'argument tourné \(x\cdot e^{i3\pi/4}\). On les rencontre dans les problèmes de résistance en courant alternatif (effet de peau), de conduction thermique dans les cylindres, ainsi que dans bien d'autres applications de la physique et de l'ingénierie.
Comment l'utiliser
Saisissez quatre valeurs : l'ordre v (le plus souvent 0, 1, 2…), la première valeur de x (valeur initiale de x), l'incrément ajouté à chaque ligne, et le nombre d'itérations (le nombre de lignes du tableau). Par défaut, x est balayé de −7 à +7 par pas de 0,2 (soit 71 lignes). Le résultat est une table à trois colonnes : x, \(\mathrm{ber}_v(x)\) et \(\mathrm{bei}_v(x)\).
La formule expliquée
La série s'écrit $$\mathrm{ber}_v(x) + i\,\mathrm{bei}_v(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^{v} e^{\,3v\pi i/4} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\left(\frac{i\,x^{2}}{4}\right)^{k}}{k!\,\Gamma(v+k+1)}$$ Nous l'évaluons par une récurrence sur les termes complexes : chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par \((i x^{2}/4)/(k(v+k))\), ce qui évite de recalculer les puissances et les factorielles. La fonction Gamma est calculée par l'approximation de Lanczos pour \(v\) réel. La sommation s'arrête dès qu'un terme devient négligeable par rapport à la somme courante.
Exemple détaillé (v = 0, x = 2)
Les séries donnent \(\mathrm{ber}_0(2) \approx 1 - 0{,}25 + 0{,}001736 - \cdots \approx 0{,}75173\) et \(\mathrm{bei}_0(2) \approx 1 - 0{,}027778 + 0{,}0000694 \approx 0{,}97229\), en accord avec les tables de référence (\(\mathrm{ber}_0(2)=0{,}7517\) ; \(\mathrm{bei}_0(2)=0{,}9723\)).
FAQ
v peut-il être non entier ? Oui. La fonction Gamma gère tout \(v\) réel. Pour x négatif avec un v non entier, le préfacteur \((x/2)^{v}\) est multivalué : c'est la branche principale qui est utilisée.
Pourquoi les valeurs sont-elles symétriques pour v=0 ? La série pour v=0 ne contient que des puissances paires de x, d'où \(\mathrm{ber}_0(-x)=\mathrm{ber}_0(x)\) et \(\mathrm{bei}_0(-x)=\mathrm{bei}_0(x)\).
Et pour les très grandes valeurs de x ? La série converge bien pour des \(|x|\) modérés. Au-delà de \(|x| > 20\), de nombreux termes deviennent nécessaires et un développement asymptotique serait plus stable ; restez dans la plage par défaut pour une précision optimale.
