ما الذي تقوم به هذه الحاسبة
تتيح لك هذه الأداة إنشاء جدول لدوال كلفن من النوع الأول، \(\mathrm{ber}_v(x)\) و \(\mathrm{bei}_v(x)\)، عند رتبة (درجة) مختارة \(v\) عبر نطاق ممسوح من قيم \(x\). وتمثّل هاتان الدالتان الجزأين الحقيقي والتخيلي لدالة بِسِل \(J_v\) محسوبةً عند الوسيط المُدار \(x\cdot e^{i3\pi/4}\)، وتظهران في مسائل المقاومة الكهربائية للتيار المتردد (الظاهرة السطحية أو skin effect)، وتوصيل الحرارة في الأسطوانات، وغيرها من تطبيقات الفيزياء والهندسة.
طريقة الاستخدام
أدخل أربع قيم: الرتبة v (وعادةً ما تكون 0 أو 1 أو 2…)، وأول قيمة لـ x وهي القيمة الابتدائية لـ x، ومقدار الزيادة المُضاف عند كل صف، وعدد التكرارات (أي عدد صفوف الجدول). تمسح القيم الافتراضية x من −7 إلى +7 بخطوات مقدارها 0.2 (أي 71 صفاً). والنتيجة جدول يضم x و \(\mathrm{ber}_v(x)\) و \(\mathrm{bei}_v(x)\).
شرح المعادلة
المتسلسلة هي $$\mathrm{ber}_v(x) + i\,\mathrm{bei}_v(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^{v} e^{\,3v\pi i/4} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\left(\frac{i\,x^{2}}{4}\right)^{k}}{k!\,\Gamma(v+k+1)}$$ ونحسبها باستخدام تعاودية الحدود المركبة: إذ يساوي كل حدّ الحدَّ السابق له مضروباً في \(\left(\frac{i\,x^{2}}{4}\right)\big/\big(k(v+k)\big)\)، وهو ما يتجنّب إعادة حساب القوى والمضروبات في كل مرة. أما دالة غاما فتُحسب عبر تقريب لانكزوس (Lanczos) لقيم \(v\) الحقيقية. ويتوقّف الجمع عندما يصبح أحد الحدود مهملاً بالنسبة إلى المجموع التراكمي.
مثال محلول (v = 0، x = 2)
تعطي المتسلسلة \(\mathrm{ber}_0(2) \approx 1 - 0.25 + 0.001736 - \dots \approx 0.75173\) و \(\mathrm{bei}_0(2) \approx 1 - 0.027778 + 0.0000694 \approx 0.97229\)، وهو ما يطابق الجداول المعيارية (\(\mathrm{ber}_0(2)=0.7517\)، \(\mathrm{bei}_0(2)=0.9723\)).
الأسئلة الشائعة
هل يمكن أن تكون v غير صحيحة (كسرية)؟ نعم. فدالة غاما تتعامل مع قيم \(v\) الحقيقية. وعند قيم x السالبة مع v غير الصحيحة يكون المعامل \((x/2)^{v}\) متعدّد القيم؛ ولذا يُستخدم الفرع الرئيسي (principal branch).
لماذا تكون القيم متناظرة عند v=0؟ لأن متسلسلة \(v=0\) لا تحتوي إلا على القوى الزوجية لـ \(x\)، ومن ثَمّ فإن \(\mathrm{ber}_0(-x)=\mathrm{ber}_0(x)\) و \(\mathrm{bei}_0(-x)=\mathrm{bei}_0(x)\).
ماذا عن قيم x الكبيرة جداً؟ تتقارب المتسلسلة بشكل جيد عند القيم المتوسطة لـ \(|x|\). أما عندما يكون \(|x| > 20\) فيلزم عدد كبير من الحدود، ويكون التوسّع التقاربي (asymptotic expansion) أكثر استقراراً؛ لذا يُنصح بالبقاء ضمن النطاق الافتراضي لتحقيق أفضل دقة.
