यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल चुनी गई कोटि (डिग्री) \(v\) के लिए, \(x\) के मानों की एक श्रृंखला पर प्रथम प्रकार के केल्विन फलन \(\mathrm{ber}_v(x)\) और \(\mathrm{bei}_v(x)\) की टेबल तैयार करता है। ये फलन दरअसल बेसेल फलन \(J_v\) के वास्तविक और काल्पनिक (real और imaginary) हिस्से हैं, जिन्हें घुमाए हुए तर्क \(x\cdot e^{i3\pi/4}\) पर निकाला जाता है। ये प्रत्यावर्ती धारा (AC) में प्रतिरोध (स्किन इफ़ेक्ट), बेलनाकार वस्तुओं में ऊष्मा संचालन, तथा भौतिकी व इंजीनियरिंग की कई अन्य समस्याओं में काम आते हैं।
इसका उपयोग कैसे करें
चार मान भरें: कोटि v (आमतौर पर 0, 1, 2…), x का पहला मान x का प्रारंभिक मान, हर पंक्ति में जुड़ने वाली वृद्धि, और पुनरावृत्तियों की संख्या (यानी टेबल की पंक्तियाँ)। डिफ़ॉल्ट सेटिंग में x को −7 से +7 तक 0.2 के अंतराल पर बढ़ाया जाता है (कुल 71 पंक्तियाँ)। परिणाम के रूप में आपको \(x\), \(\mathrm{ber}_v(x)\) और \(\mathrm{bei}_v(x)\) की एक टेबल मिलती है।
सूत्र की व्याख्या
श्रृंखला इस प्रकार है:
$$\mathrm{ber}_v(x) + i\,\mathrm{bei}_v(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^{v} e^{\,3v\pi i/4} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\left(\frac{i\,x^{2}}{4}\right)^{k}}{k!\,\Gamma(v+k+1)}$$हम इसकी गणना सम्मिश्र पद पुनरावृत्ति (complex term recurrence) से करते हैं: हर पद पिछले पद को \((i x^{2}/4)/(k(v+k))\) से गुणा करने पर मिलता है, जिससे बार-बार घात और क्रमगुणित (factorial) निकालने की ज़रूरत नहीं पड़ती। वास्तविक \(v\) के लिए गामा फलन की गणना लैंक्ज़ोस सन्निकटन (Lanczos approximation) से की जाती है। जब कोई पद कुल योग की तुलना में नगण्य हो जाता है, तब जोड़ना रोक दिया जाता है।
हल किया गया उदाहरण (v = 0, x = 2)
श्रृंखला से \(\mathrm{ber}_0(2) \approx 1 - 0.25 + 0.001736 - \dots \approx 0.75173\) और \(\mathrm{bei}_0(2) \approx 1 - 0.027778 + 0.0000694 \approx 0.97229\) मिलता है, जो मानक टेबलों से मेल खाता है (\(\mathrm{ber}_0(2)=0.7517\), \(\mathrm{bei}_0(2)=0.9723\))।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या v पूर्णांक के अलावा भी हो सकता है? हाँ। गामा फलन वास्तविक \(v\) को संभाल लेता है। पूर्णांक न होने वाली \(v\) के साथ ऋणात्मक \(x\) के लिए गुणक \((x/2)^{v}\) बहुमानी (multivalued) हो जाता है; ऐसे में मुख्य शाखा (principal branch) का उपयोग किया जाता है।
v=0 पर मान सममित (symmetric) क्यों होते हैं? \(v=0\) की श्रृंखला में \(x\) की केवल सम घातें (even powers) होती हैं, इसलिए \(\mathrm{ber}_0(-x)=\mathrm{ber}_0(x)\) और \(\mathrm{bei}_0(-x)=\mathrm{bei}_0(x)\) होता है।
बहुत बड़े x के लिए क्या होता है? मध्यम \(|x|\) के लिए श्रृंखला अच्छी तरह अभिसरित (converge) होती है। \(|x| > 20\) होने पर बहुत सारे पद चाहिए होते हैं और ऐसे में स्पर्शोन्मुख विस्तार (asymptotic expansion) ज़्यादा स्थिर रहता है; सबसे सटीक परिणाम के लिए डिफ़ॉल्ट रेंज के भीतर ही रहें।
