व्हिटेकर फ़ंक्शन M_{k,m}(z) क्या है?
पहले प्रकार का व्हिटेकर फ़ंक्शन, \(M_{k,m}(z)\), एक विशेष फ़ंक्शन है जो व्हिटेकर के अवकल समीकरण का हल देता है: $$y'' + \left( \frac{1}{4} - \frac{k}{z} + \frac{m^2 - \frac{1}{4}}{z^2} \right) y = 0.$$ इसका सामान्य हल \(M_{k,m}(z)\) को दूसरे प्रकार के व्हिटेकर फ़ंक्शन \(W_{k,m}(z)\) के साथ जोड़ता है। यह कैलकुलेटर केवल \(M_{k,m}(z)\) लौटाता है, यानी कुमर के कन्फ्लुएंट हाइपरज्यामितीय फ़ंक्शन से बना नियमित (regular) हल। यह गणितीय भौतिकी में हर जगह दिखता है, जैसे त्रिज्यीय कूलॉम तरंग फ़ंक्शन और परवलयिक-बेलन (parabolic-cylinder) समस्याओं में। यह शुद्ध गणित है और सार्वभौमिक रूप से लागू होता है — इसमें किसी क्षेत्र-विशेष की धारणाएँ नहीं हैं।
कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
तीन वास्तविक संख्याएँ डालें: पैरामीटर \(k\) और \(m\), तथा तर्क (argument) \(z\)। \(z > 0\) रखें ताकि गैर-पूर्णांक \(m\) के लिए \(z^{m+1/2}\) एक वास्तविक परिणाम दे। ऐसे \(m\) मान से बचें जिनसे \(2m+1\) एक गैर-धनात्मक पूर्णांक बन जाए (\(m = 0, -1/2, -1, \ldots\)), क्योंकि इससे श्रेणी के हर (denominator) में एक ध्रुव (pole) आ जाता है। प्रिसिज़न चयनकर्ता केवल यह तय करता है कि कितने अंक दिखाए जाएँ; भीतर चलने वाली डबल-प्रिसिज़न गणना सामान्य इनपुट के लिए सटीक है (मोटे तौर पर \(|z|\) लगभग 30 तक)।
सूत्र की व्याख्या
\(a = m - k + \frac{1}{2}\) और \(b = 2m + 1\) लेने पर, फ़ंक्शन इस तरह बनता है: $$M = e^{-z/2} \cdot z^{m+1/2} \cdot {}_1F_1(a; b; z).$$ कन्फ्लुएंट हाइपरज्यामितीय श्रेणी \({}_1F_1\) को पद-दर-पद जोड़ा जाता है, इस पुनरावृत्ति सूत्र से: $$\text{term}_n = \text{term}_{n-1} \cdot \frac{a + n - 1}{b + n - 1} \cdot \frac{z}{n},$$ जिसकी शुरुआत \(\text{term}_0 = 1\) से होती है। पदों को तब तक जोड़ा जाता है जब तक वे चल रहे योग की तुलना में नगण्य न हो जाएँ, और अनंत लूप से बचने के लिए एक सीमा भी रखी जाती है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(k = 2\), \(m = 3\), \(z = 0.5\)। तब \(a = 3 - 2 + 0.5 = 1.5\) और \(b = 7\)। श्रेणी \({}_1F_1(1.5; 7; 0.5)\) लगभग \(1.1160881\) पर अभिसरित होती है। पूर्वगुणक (prefactor) है \(e^{-0.25} = 0.7788008\) गुणा \(0.5^{3.5} = 0.0883883\), जो \(0.0688384\) देता है। इसे श्रेणी से गुणा करने पर \(M_{2,3}(0.5)\) लगभग \(0.0768344\) आता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
\(z\) धनात्मक क्यों होना चाहिए? गैर-पूर्णांक \(m + \frac{1}{2}\) के लिए, \(z \le 0\) पर \(z^{m+1/2}\) बहु-मानी (multi-valued) या सम्मिश्र (complex) होता है, इसलिए वास्तविक परिणाम पाने के लिए \(z > 0\) ज़रूरी है। \(z = 0\) पर, जब \(m + \frac{1}{2} > 0\) हो, तो फ़ंक्शन का मान 0 होता है।
यदि \(2m+1\) गैर-धनात्मक पूर्णांक हो तो क्या होगा? हर में मौजूद पोखहैमर प्रतीक (Pochhammer symbol) शून्य हो जाता है, जिससे श्रेणी अपरिभाषित हो जाती है; ऐसे में कैलकुलेटर 0 लौटाता है और आपको \(m\) बदलना चाहिए।
क्या श्रेणी हमेशा अभिसरित होती है? हाँ, \({}_1F_1\) पूरे \(z\) में एंटायर (entire) फ़ंक्शन है, हालाँकि बड़े \(|z|\) के लिए यह धीरे अभिसरित होती है और सामान्य डबल प्रिसिज़न में सटीकता कम हो सकती है।
