¿Qué es la función de Whittaker M_{k,m}(z)?
La función de Whittaker de primera especie, \(M_{k,m}(z)\), es una función especial que resuelve la ecuación diferencial de Whittaker: $$y'' + \left( \frac{1}{4} - \frac{k}{z} + \frac{m^2 - \frac{1}{4}}{z^2} \right) y = 0.$$ Su solución general combina \(M_{k,m}(z)\) con la función de Whittaker de segunda especie \(W_{k,m}(z)\). Esta calculadora devuelve únicamente \(M_{k,m}(z)\), la solución regular construida a partir de la función hipergeométrica confluente de Kummer. Aparece por toda la física matemática, por ejemplo en las funciones de onda radiales de Coulomb y en los problemas del cilindro parabólico. Se trata de matemática pura y de aplicación universal, sin supuestos vinculados a ninguna región.
Cómo usar la calculadora
Introduce tres números reales: los parámetros \(k\) y \(m\), y el argumento \(z\). Usa \(z > 0\) para que \(z^{m+1/2}\) dé un resultado real cuando \(m\) no sea entero. Evita los valores de \(m\) que conviertan \(2m+1\) en un entero no positivo (\(m = 0, -1/2, -1, \ldots\)), porque eso introduce un polo en el denominador de la serie. El selector de precisión solo controla cuántos dígitos se muestran; el cálculo interno en doble precisión es exacto para entradas moderadas (aproximadamente \(|z|\) hasta unos 30).
La fórmula explicada
Con \(a = m - k + \frac{1}{2}\) y \(b = 2m + 1\), la función es $$M = e^{-z/2} \cdot z^{m+1/2} \cdot {}_1F_1(a; b; z).$$ La serie hipergeométrica confluente \({}_1F_1\) se suma término a término mediante la recurrencia \(\text{term}_n = \text{term}_{n-1} \cdot \frac{a + n - 1}{b + n - 1} \cdot \frac{z}{n}\), partiendo de \(\text{term}_0 = 1\). Los términos se van sumando hasta que resultan despreciables frente a la suma acumulada, con un límite para evitar bucles infinitos.
Ejemplo resuelto
Tomemos \(k = 2\), \(m = 3\), \(z = 0.5\). Entonces \(a = 3 - 2 + 0.5 = 1.5\) y \(b = 7\). La serie \({}_1F_1(1.5; 7; 0.5)\) converge a aproximadamente \(1.1160881\). El factor previo es \(e^{-0.25} = 0.7788008\) multiplicado por \(0.5^{3.5} = 0.0883883\), lo que da \(0.0688384\). Al multiplicarlo por la serie se obtiene $$M_{2,3}(0.5) \approx 0.0768344.$$
Preguntas frecuentes
¿Por qué z debe ser positivo? Cuando \(m + \frac{1}{2}\) no es entero, el factor \(z^{m+1/2}\) es multivaluado o complejo para \(z \le 0\), así que para obtener un resultado real hace falta \(z > 0\). En \(z = 0\) la función vale 0 si \(m + \frac{1}{2} > 0\).
¿Qué ocurre si 2m+1 es un entero no positivo? El símbolo de Pochhammer del denominador se anula, por lo que la serie queda indefinida; la calculadora devuelve 0 y conviene cambiar \(m\).
¿La serie siempre converge? Sí, \({}_1F_1\) es entera en \(z\), aunque converge lentamente para \(|z|\) grande y puede perder exactitud con la doble precisión habitual.
