Qué hace esta calculadora
Esta herramienta tabula la función de Bessel modificada de primera especie, denotada \(I_{v}(x)\), para un orden real fijo \(v\) a lo largo de una secuencia de valores de \(x\). Tú indicas el orden, un valor inicial de \(x\), un incremento (paso) y cuántas filas quieres generar; la calculadora construye la lista \(x_{i} = \text{inicio} + i\cdot\text{paso}\) y evalúa \(I_{v}(x_{i})\) en cada punto, devolviéndote tanto una tabla como una gráfica. Es una herramienta de matemática pura para funciones especiales y se aplica de forma universal (no depende de reglas ni unidades regionales).
La fórmula
La función de Bessel modificada \(I_{v}(x)\) es solución de la ecuación de Bessel modificada \(x^{2}y'' + xy' - (x^{2} + v^{2})y = 0\). Aquí se calcula a partir de su desarrollo en serie de potencias:
$$I_{v}(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!\;\Gamma(v+k+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{v+2k}$$El factorial y la función Gamma permiten que \(v\) sea cualquier número real. Para garantizar la estabilidad numérica, cada término se evalúa en espacio logarítmico mediante una aproximación de Lanczos de \(\ln \Gamma\) y luego se suman hasta que los términos resultan despreciables.
Cómo usarla
Introduce el Orden \(v\) (por ejemplo 0, 1 o 2,5), el Valor inicial de \(x\), el Incremento que se suma a \(x\) en cada fila y el Número de repeticiones (filas). Pulsa calcular para obtener una tabla de dos columnas con \(x\) e \(I_{v}(x)\), además de una gráfica sobre el mismo intervalo.
Ejemplo resuelto
Con \(v = 0\), inicio \(= 0\), paso \(= 0{,}5\) y número \(= 5\) obtienes \(x = 0,\ 0{,}5,\ 1,\ 1{,}5,\ 2\) y:
$$I_{0}(0) = 1,\quad I_{0}(0{,}5) \approx 1{,}0634834,\quad I_{0}(1) \approx 1{,}2660658,\quad I_{0}(1{,}5) \approx 1{,}6467232,\quad I_{0}(2) \approx 2{,}2795853$$Estos valores coinciden con las tablas de referencia habituales.
Preguntas frecuentes
¿El orden puede ser negativo o no entero? Sí. Para órdenes enteros negativos se aplica la identidad \(I_{-n}(x) = I_{n}(x)\). Los valores de \(v\) no enteros se admiten para \(x \geq 0\); cuando \(x < 0\) y \(v\) no es entero el resultado es complejo, por lo que se devuelve NaN.
¿Por qué crece tan rápido \(I_{v}(x)\)? A diferencia de la función de Bessel ordinaria \(J_{v}\), que oscila, la función modificada crece aproximadamente como \(e^{x}/\sqrt{2\pi x}\) para \(x\) grandes, de modo que valores altos de \(x\) pueden desbordar hacia infinito.
¿Cuánto vale \(I_{v}(0)\)? \(I_{0}(0) = 1\), y \(I_{v}(0) = 0\) para \(v > 0\).
