À quoi sert ce calculateur
Cet outil dresse la table de la fonction de Bessel modifiée de première espèce, notée \(I_{v}(x)\), pour un ordre réel \(v\) fixé sur une suite de valeurs de \(x\). Vous indiquez l'ordre, une valeur initiale de \(x\), un incrément (le pas) et le nombre de lignes à produire ; le calculateur construit la liste \(x_{i} = \text{début} + i\cdot\text{pas}\), évalue \(I_{v}(x_{i})\) en chaque point, puis renvoie à la fois une table et un graphique. Il s'agit d'un outil de mathématiques pures portant sur une fonction spéciale : il s'applique partout, sans règle régionale ni unité particulière.
La formule
La fonction de Bessel modifiée \(I_{v}(x)\) est solution de l'équation de Bessel modifiée \(x^2 y'' + x y' - (x^2 + v^2)y = 0\). Elle est calculée ici à partir de son développement en série entière :
$$I_{v}(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!\;\Gamma(v+k+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{v+2k}$$
$$\text{où}\quad \left\{ \begin{aligned} v &= \text{Ordre } v \\ x &= \text{Valeur initiale } x + i\cdot\text{Incrément} \\ i &= 0,1,\dots,\text{Répétitions}-1 \end{aligned} \right.$$
La factorielle et la fonction Gamma permettent à \(v\) de prendre n'importe quelle valeur réelle. Pour assurer la stabilité numérique, chaque terme est évalué en échelle logarithmique grâce à une approximation de Lanczos de \(\ln \Gamma\), puis les termes sont additionnés jusqu'à devenir négligeables.
Mode d'emploi
Saisissez l'Ordre v (par exemple 0, 1 ou 2,5), la Valeur initiale de x, l'Incrément ajouté à \(x\) à chaque ligne, puis le Nombre de répétitions (les lignes). Cliquez sur calculer pour obtenir une table à deux colonnes (\(x\) et \(I_{v}(x)\)) accompagnée d'un graphique sur la même plage.
Exemple détaillé
Avec \(v = 0\), début \(= 0\), pas \(= 0{,}5\) et nombre \(= 5\), on obtient \(x = 0,\ 0{,}5,\ 1,\ 1{,}5,\ 2\) et :
\(I_{0}(0) = 1\), \(I_{0}(0{,}5) \approx 1{,}0634834\), \(I_{0}(1) \approx 1{,}2660658\), \(I_{0}(1{,}5) \approx 1{,}6467232\), \(I_{0}(2) \approx 2{,}2795853\). Ces valeurs correspondent aux tables de référence usuelles.
FAQ
L'ordre peut-il être négatif ou non entier ? Oui. Pour un ordre entier négatif, on utilise l'identité \(I_{-n}(x) = I_{n}(x)\). Un \(v\) non entier est admis pour \(x \geq 0\) ; pour \(x < 0\) avec un \(v\) non entier, la valeur est complexe, et l'outil renvoie alors NaN.
Pourquoi \(I_{v}(x)\) croît-elle aussi vite ? Contrairement à la fonction de Bessel ordinaire \(J_{v}\), qui oscille, la fonction modifiée croît approximativement comme \(e^{x}/\sqrt{2\pi x}\) pour les grandes valeurs de \(x\) : un \(x\) élevé peut donc provoquer un dépassement vers l'infini.
Que vaut \(I_{v}(0)\) ? \(I_{0}(0) = 1\), et \(I_{v}(0) = 0\) pour \(v > 0\).
