À quoi sert ce calculateur
Cet outil dresse le tableau et trace le graphique de la fonction de Bessel sphérique modifiée de première espèce, \(i_v(x)\), pour un ordre \(v\) fixé et une suite de valeurs de \(x\). À partir d'un \(x\) initial, il ajoute un pas constant un certain nombre de fois, ce qui produit les lignes \(x_k = \text{initialX} + k \times \text{stepX}\) pour \(k = 0, 1, \dots, \text{loopCount}-1\), et évalue \(i_v(x_k)\) pour chacune d'elles.
La formule expliquée
La fonction de Bessel sphérique modifiée se définit à partir de la fonction de Bessel modifiée (cylindrique) de première espèce \(I\), par $$i_v(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}}\, I_{v+\frac{1}{2}}(x).$$ Pour les petits ordres entiers positifs ou nuls, on dispose de formes hyperboliques fermées bien pratiques : \(i_0(x) = \frac{\sinh(x)}{x}\), \(i_1(x) = \frac{x \cosh x - \sinh x}{x^2}\), \(i_2(x) = \frac{(x^2+3) \sinh x - 3x \cosh x}{x^3}\). Les ordres entiers plus élevés découlent de la relation de récurrence $$i_{n+1}(x) = i_{n-1}(x) - \frac{2n+1}{x}\, i_n(x).$$ Pour un ordre réel \(v\) quelconque, le calculateur évalue \(I_{v+\frac{1}{2}}(x)\) à partir de son développement en série, à l'aide de la fonction Gamma.
Mode d'emploi
Saisissez l'ordre \(v\) (par exemple 0, 1 ou un demi-entier comme 0,5), la valeur initiale de \(x\), l'incrément et le nombre de lignes souhaité. Le résultat affiche un tableau à deux colonnes donnant \(x\) et \(i_v(x)\) ; la première valeur est mise en évidence en haut. Utilisez un pas faible, par exemple 0,1, pour obtenir une courbe lisse.
Exemple concret
Avec \(v = 0\), initialX = 0, stepX = 0,1 et loopCount = 51, on utilise la fonction \(i_0(x) = \frac{\sinh(x)}{x}\). La première ligne, à \(x = 0\), donne la valeur limite 1. À \(x = 1\), \(\frac{\sinh(1)}{1} = 1{,}17520119\). À \(x = 5\) (la dernière ligne), \(\frac{\sinh(5)}{5} = 14{,}84064212\) : la courbe croît donc régulièrement de 1 jusqu'à environ 14,84.
Foire aux questions
Que se passe-t-il en x = 0 ? La forme \(\sqrt{\frac{\pi}{2x}}\) y est singulière ; le calculateur renvoie donc la limite : \(i_0(0) = 1\) et \(i_v(0) = 0\) pour \(v > 0\).
L'ordre peut-il être un demi-entier ? Oui. Tout ordre réel est admis ; les ordres non entiers sont calculés via la série de \(I_{v+\frac{1}{2}}(x)\).
x peut-il être négatif ? Les formes fermées d'ordre entier sont définies pour \(x\) négatif, mais la branche d'ordre quelconque est restreinte à \(x \geq 0\), car la racine carrée (sur sa branche principale) d'un argument négatif serait complexe.
