Ce que fait ce calculateur
Cet outil évalue la fonction de Bessel sphérique de première espèce \(j_v(x)\), la fonction de Bessel sphérique de seconde espèce \(y_v(x)\), ainsi que leurs dérivées premières \(j'_v(x)\) et \(y'_v(x)\). Ces fonctions constituent les solutions radiales des équations d'onde et de Helmholtz en coordonnées sphériques. On les retrouve partout en physique : théorie de la diffusion, rayonnement électromagnétique et acoustique, ou encore mécanique quantique (ondes partielles d'une particule libre). Cette version reconstruite prend en charge un ordre entier \(v \ge 0\) et un argument réel \(x > 0\).
Mode d'emploi
Saisissez l'ordre \(v\) (un entier positif ou nul, par exemple 0, 1 ou 2) puis l'argument \(x\) (un réel strictement positif). Lancez le calcul pour obtenir les quatre grandeurs. Attention : \(y_v(x)\) et \(y'_v(x)\) divergent lorsque \(x\) tend vers 0 ; l'outil les signale donc comme infinies en \(x = 0\), tandis que \(j_0(0)\) vaut 1 par passage à la limite.
La formule expliquée
Ces fonctions vérifient l'équation $$x^2 w'' + 2x\,w' + (x^2 - v(v+1))\,w = 0.$$ À partir des formes explicites \(j_0 = \sin(x)/x\) et \(y_0 = -\cos(x)/x\), les ordres supérieurs se déduisent de la relation de récurrence à trois termes $$f_{n+1} = \frac{2n+1}{x}\,f_n - f_{n-1}.$$ La récurrence ascendante est stable pour \(y_v\), mais elle devient instable pour \(j_v\) dès que \(n > x\). On emploie alors la récurrence descendante de Miller : on part d'un ordre élevé en fixant \(f\) à 0 puis 1, on descend par récurrence, et l'on remet enfin tout à l'échelle pour que le terme d'ordre 0 coïncide avec \(\sin(x)/x\). Les dérivées s'obtiennent via $$j'_v = j_{v-1} - \frac{v+1}{x}\,j_v.$$
Exemple détaillé (v = 0, x = 2)
$$j_0(2) = \frac{\sin(2)}{2} = 0{,}4546487134.$$ $$y_0(2) = -\frac{\cos(2)}{2} = 0{,}2080734183.$$ Comme \(j'_0 = -j_1\), on trouve \(j'_0(2) = -0{,}4353977750\) ; et puisque \(y'_0 = -y_1\), on obtient \(0{,}3506120043\).
FAQ
Les arguments complexes sont-ils pris en charge ? Non. La page d'origine acceptait les arguments complexes ; cette version se limite aux réels \(x > 0\) par souci de clarté et de rapidité.
Pourquoi \(y_v\) est-elle infinie en \(x = 0\) ? Les fonctions de seconde espèce présentent un pôle à l'origine : leurs valeurs croissent sans limite lorsque \(x\) tend vers 0.
Quelle est sa précision ? Les calculs sont menés en double précision, soit environ 15 chiffres significatifs — largement suffisant pour les travaux courants d'ingénierie et de physique.
