Bu araç ne işe yarar?
Bu hesaplayıcı birinci tür küresel Bessel fonksiyonu jv(x), ikinci tür küresel Bessel fonksiyonu yv(x) ile bunların birinci türevleri j'v(x) ve y'v(x) değerlerini hesaplar. Bu fonksiyonlar, küresel koordinatlarda dalga ve Helmholtz denklemlerinin radyal çözümleridir ve fizikte sıkça karşımıza çıkar: saçılma teorisi, elektromanyetik ve akustik ışıma, ayrıca kuantum mekaniği (serbest parçacık kısmi dalgaları). Yeniden tasarlanan bu sürüm, tam sayı mertebesi \(v \ge 0\) ve gerçek argüman \(x > 0\) ile çalışır.
Nasıl kullanılır?
Mertebe değeri v'yi (0, 1, 2 gibi negatif olmayan bir tam sayı) ve argüman x'i (pozitif bir gerçek sayı) girin. Hesapla düğmesine basarak dört değerin tümünü elde edin. Şunu unutmayın: yv(x) ve y'v(x), x sıfıra yaklaştıkça ıraksar; bu nedenle araç bunları x = 0'da sonsuz olarak gösterir. j0(0) ise limit olarak 1'e eşittir.
Formülün açıklaması
Fonksiyonlar şu denklemi sağlar:
$$x^2 w'' + 2x\,w' + \left(x^2 - v(v+1)\right)w = 0$$Kapalı biçimler olan \(j_0 = \frac{\sin x}{x}\) ve \(y_0 = -\frac{\cos x}{x}\) ifadelerinden yola çıkılarak, daha yüksek mertebeler üç terimli yineleme bağıntısıyla bulunur:
$$f_{n+1} = \frac{2n+1}{x}\,f_n - f_{n-1}$$Yukarı yönlü yineleme \(y_v\) için kararlıdır; ancak \(j_v\) için \(n > x\) olduğunda kararsız hale gelir. Bu yüzden Miller'ın aşağı yönlü yineleme yöntemini kullanırız: yüksek bir mertebeden f değerlerini 0 ve 1 olarak başlatıp aşağı doğru yineleriz, ardından her değeri sıfırıncı mertebe terimi \(\frac{\sin x}{x}\) ile uyuşacak şekilde yeniden ölçeklendiririz. Türevler ise \(j'_v = j_{v-1} - \frac{v+1}{x}j_v\) bağıntısıyla hesaplanır.
Çözümlü örnek (v = 0, x = 2)
\(j_0(2) = \frac{\sin 2}{2} = 0.4546487134\). \(y_0(2) = -\frac{\cos 2}{2} = 0.2080734183\). \(j'_0 = -j_1\) olduğundan \(j'_0(2) = -0.4353977750\) elde ederiz; \(y'_0 = -y_1\) ise \(0.3506120043\) değerini verir.
Sıkça Sorulan Sorular
Karmaşık x değerlerini destekliyor mu? Hayır. Orijinal sayfa karmaşık argümanları kabul ediyordu; bu yeniden tasarlanan sürüm, sadelik ve hız için yalnızca gerçek \(x > 0\) değerleriyle sınırlıdır.
yv neden x = 0'da sonsuz? İkinci tür fonksiyonların orijinde bir kutbu (singülaritesi) vardır; bu nedenle x sıfıra yaklaştıkça değerleri sınırsız biçimde büyür.
Ne kadar hassas? Hesaplamalar çift duyarlık (double precision) ile yapılır ve yaklaşık 15 anlamlı basamak verir; bu da tipik mühendislik ve fizik çalışmaları için fazlasıyla yeterlidir.
