यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल पहले प्रकार के गोलीय बेसेल फलन jv(x), दूसरे प्रकार के गोलीय बेसेल फलन yv(x), तथा इनके प्रथम अवकलजों j'v(x) और y'v(x) की गणना करता है। ये फलन गोलीय निर्देशांकों में तरंग समीकरण और हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण के त्रिज्य (रेडियल) हल हैं, और भौतिकी में हर जगह दिखाई देते हैं — प्रकीर्णन सिद्धांत, विद्युतचुंबकीय एवं ध्वनिक विकिरण, तथा क्वांटम यांत्रिकी (मुक्त-कण आंशिक तरंगें)। इस नए संस्करण में पूर्णांक कोटि \(v \ge 0\) और वास्तविक तर्क \(x > 0\) को संभाला जाता है।
इसका उपयोग कैसे करें
कोटि v (कोई ऋणेतर पूर्णांक जैसे 0, 1, 2) और तर्क x (कोई धनात्मक वास्तविक संख्या) दर्ज करें। चारों मान पाने के लिए "गणना करें" दबाएँ। ध्यान दें कि जब x शून्य की ओर बढ़ता है तो yv(x) और y'v(x) अपसरित (diverge) होते हैं, इसलिए टूल \(x = 0\) पर इन्हें अनंत (infinite) दिखाता है; जबकि सीमा के रूप में j0(0) का मान 1 होता है।
सूत्र की व्याख्या
ये फलन समीकरण $$x^2 w'' + 2x\,w' + (x^2 - v(v+1))w = 0$$ को संतुष्ट करते हैं। बंद रूपों \(j_0 = \sin(x)/x\) और \(y_0 = -\cos(x)/x\) से शुरू करके, उच्चतर कोटियाँ तीन-पद पुनरावृत्ति $$f_{n+1} = \frac{2n+1}{x}\,f_n - f_{n-1}$$ से प्राप्त होती हैं। yv के लिए ऊपर की ओर पुनरावृत्ति स्थिर रहती है, परंतु jv के लिए जब \(n > x\) हो तो यह अस्थिर हो जाती है, इसलिए हम मिलर की नीचे की ओर पुनरावृत्ति का प्रयोग करते हैं: किसी उच्च कोटि से f को 0 और 1 रखकर शुरू करें, नीचे की ओर पुनरावृत्ति करें, फिर हर मान को इस प्रकार पुनः मापें कि कोटि-0 का पद \(\sin(x)/x\) से मेल खाए। अवकलज \(j'_v = j_{v-1} - \frac{v+1}{x} j_v\) से निकाले जाते हैं।
हल किया गया उदाहरण (v = 0, x = 2)
\(j_0(2) = \sin(2)/2 = 0.4546487134\)। \(y_0(2) = -\cos(2)/2 = 0.2080734183\)। चूँकि \(j'_0 = -j_1\), इसलिए \(j'_0(2) = -0.4353977750\), और \(y'_0 = -y_1\) से \(0.3506120043\) प्राप्त होता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या यह सम्मिश्र (complex) x का समर्थन करता है? नहीं। मूल पृष्ठ सम्मिश्र तर्क स्वीकार करता था; यह नया संस्करण स्पष्टता और गति के लिए केवल वास्तविक \(x > 0\) तक सीमित है।
x = 0 पर yv अनंत क्यों होता है? दूसरे प्रकार के फलनों का मूलबिंदु पर एक ध्रुव (pole) होता है, इसलिए x के शून्य की ओर बढ़ने पर इनके मान बिना किसी सीमा के बढ़ते जाते हैं।
यह कितना सटीक है? गणनाएँ डबल प्रिसीज़न में होती हैं, जिससे लगभग 15 सार्थक अंक मिलते हैं — सामान्य इंजीनियरिंग और भौतिकी के कार्यों के लिए यह पर्याप्त से अधिक है।
