रीमान ज़ीटा फ़ंक्शन ग्राफ़ कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

x का आरंभिक मान

वृद्धि (स्टेप)

पुनरावृत्तियों की संख्या

सूत्र (फॉर्मूला)

Show calculation steps (1)

1. Zeta for x <= 1 (functional equation)

   

   For x less than or equal to 1 (x not 1) the reflection formula is used; the pole at x = 1 gives infinity and negative even integers give 0.

परिणाम

Riemann zeta at first x = -14

0

ζ(x) − 1 = -1

x	ζ(x)	ζ(x) − 1
-14	0	-1
-13.9	-0.0267245	-1.0267245
-13.8	-0.04860542	-1.04860542
-13.7	-0.06579272	-1.06579272
-13.6	-0.07853882	-1.07853882
-13.5	-0.08717526	-1.08717526
-13.4	-0.0920913	-1.0920913
-13.3	-0.09371454	-1.09371454
-13.2	-0.09249371	-1.09249371
-13.1	-0.08888379	-1.08888379
-13	-0.08333333	-1.08333333
-12.9	-0.07627399	-1.07627399
-12.8	-0.06811217	-1.06811217
-12.7	-0.05922263	-1.05922263
-12.6	-0.04994383	-1.04994383
-12.5	-0.04057497	-1.04057497
-12.4	-0.03137436	-1.03137436
-12.3	-0.02255915	-1.02255915
-12.2	-0.01430597	-1.01430597
-12.1	-0.00675256	-1.00675256
-12	0	-1
-11.9	0.00588448	-0.99411552
-11.8	0.01086429	-0.98913571
-11.7	0.0149301	-0.9850699
-11.6	0.0180962	-0.9819038
-11.5	0.02039698	-0.97960302
-11.4	0.02188329	-0.97811671
-11.3	0.02261909	-0.97738091
-11.2	0.02267817	-0.97732183
-11.1	0.02214117	-0.97785883
-11	0.0210928	-0.9789072
-10.9	0.01961939	-0.98038061
-10.8	0.01780675	-0.98219325
-10.7	0.01573826	-0.98426174
-10.6	0.01349333	-0.98650667
-10.5	0.01114612	-0.98885388
-10.4	0.00876456	-0.99123544
-10.3	0.00640958	-0.99359042
-10.2	0.00413466	-0.99586534
-10.1	0.0019855	-0.9980145
-10	0	-1
-9.9	-0.00179171	-1.00179171
-9.8	-0.00336698	-1.00336698
-9.7	-0.00471033	-1.00471033
-9.6	-0.00581295	-1.00581295
-9.5	-0.00667217	-1.00667217
-9.4	-0.00729087	-1.00729087
-9.3	-0.00767684	-1.00767684
-9.2	-0.00784209	-1.00784209
-9.1	-0.00780223	-1.00780223
-9	-0.00757576	-1.00757576
-8.9	-0.00718343	-1.00718343
-8.8	-0.00664766	-1.00664766
-8.7	-0.00599187	-1.00599187
-8.6	-0.00524001	-1.00524001
-8.5	-0.00441603	-1.00441603
-8.4	-0.00354343	-1.00354343
-8.3	-0.00264485	-1.00264485
-8.2	-0.00174173	-1.00174173
-8.1	-0.00085404	-1.00085404
-8	0	-1
-7.9	0.00080409	-0.99919591
-7.8	0.001544	-0.998456
-7.7	0.00220766	-0.99779234
-7.6	0.00278521	-0.99721479
-7.5	0.00326904	-0.99673096
-7.4	0.00365373	-0.99634627
-7.3	0.00393604	-0.99606396
-7.2	0.00411479	-0.99588521
-7.1	0.00419079	-0.99580921
-7	0.00416667	-0.99583333
-6.9	0.00404677	-0.99595323
-6.8	0.003837	-0.996163
-6.7	0.0035446	-0.9964554
-6.6	0.00317803	-0.99682197
-6.5	0.00274677	-0.99725323
-6.4	0.00226113	-0.99773887
-6.3	0.00173207	-0.99826793
-6.2	0.00117102	-0.99882898
-6.1	0.00058972	-0.99941028
-6	0	-1
-5.9	-0.00058632	-1.00058632
-5.8	-0.00115764	-1.00115764
-5.7	-0.00170268	-1.00170268
-5.6	-0.00221068	-1.00221068
-5.5	-0.00267146	-1.00267146
-5.4	-0.00307559	-1.00307559
-5.3	-0.00341446	-1.00341446
-5.2	-0.00368044	-1.00368044
-5.1	-0.00386688	-1.00386688
-5	-0.00396825	-1.00396825
-4.9	-0.00398023	-1.00398023
-4.8	-0.00389969	-1.00389969
-4.7	-0.00372483	-1.00372483
-4.6	-0.00345518	-1.00345518
-4.5	-0.00309167	-1.00309167
-4.4	-0.00263663	-1.00263663
-4.3	-0.00209389	-1.00209389
-4.2	-0.00146872	-1.00146872
-4.1	-0.00076797	-1.00076797
-4	0	-1
-3.9	0.0008252	-0.9991748
-3.8	0.00169605	-0.99830395
-3.7	0.00259925	-0.99740075
-3.6	0.00351984	-0.99648016
-3.5	0.00444101	-0.99555899
-3.4	0.00534415	-0.99465585
-3.3	0.00620868	-0.99379132
-3.2	0.00701197	-0.99298803
-3.1	0.00772923	-0.99227077
-3	0.00833333	-0.99166667
-2.9	0.00879463	-0.99120537
-2.8	0.00908073	-0.99091927
-2.7	0.00915625	-0.99084375
-2.6	0.00898246	-0.99101754
-2.5	0.00851693	-0.99148307
-2.4	0.00771302	-0.99228698
-2.3	0.00651938	-0.99348062
-2.2	0.00487921	-0.99512079
-2.1	0.0027295	-0.9972705
-2	0	-1
-1.9	-0.00338796	-1.00338796
-1.8	-0.00752293	-1.00752293
-1.7	-0.01250521	-1.01250521
-1.6	-0.01844899	-1.01844899
-1.5	-0.0254852	-1.0254852
-1.4	-0.03376499	-1.03376499
-1.3	-0.04346408	-1.04346408
-1.2	-0.05478844	-1.05478844
-1.1	-0.06798145	-1.06798145
-1	-0.08333333	-1.08333333

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह रीमान ज़ीटा फ़ंक्शन ग्राफ़ कैलकुलेटर वास्तविक चर वाले रीमान ज़ीटा फ़ंक्शन \(\zeta(x)\) का मूल्यांकन x मानों की एक रेंज पर करता है। हर बिंदु के लिए यह \(\zeta(x)\) के साथ-साथ खिसका हुआ मान \(\zeta(x) - 1\) भी देता है। यह दूसरा मान इसलिए उपयोगी है क्योंकि बड़े धनात्मक x के लिए \(\zeta(x)\) 1 के बेहद करीब पहुँच जाता है, और तब \(\zeta(x) - 1\) इसकी घटती हुई "पूँछ" को कहीं अधिक स्पष्ट रूप से दिखाता है। नतीजा एक तालिका के रूप में आता है, जो खुद ही ग्राफ़ बनाने के लिए डेटा का काम कर देती है।

वास्तविक रीमान ज़ेटा फलन zeta(x), जिसमें x=1 पर ध्रुव और y=1 पर क्षैतिज अनंतस्पर्शी है।

इसका उपयोग कैसे करें

तीन संख्याएँ दर्ज करें: x का आरंभिक मान, हर पुनरावृत्ति पर जोड़ी जाने वाली वृद्धि (स्टेप), और पुनरावृत्तियों (बिंदुओं) की संख्या। कैलकुलेटर \(k = 0, 1, \dots, \text{iterations} - 1\) के लिए $$x_k = \text{startX} + k \cdot \text{stepX}$$ उत्पन्न करता है और हर मान पर zeta की गणना करता है। उदाहरण के लिए, startX = -14, step = 0.1 और 131 पुनरावृत्तियाँ लेने पर x का मान -14 से बढ़ते-बढ़ते -1 तक पहुँचता है।

सूत्र की व्याख्या

x > 1 के लिए यह फ़ंक्शन अभिसारी डिरिक्ले श्रेणी, यानी \(1/n^{x}\) का योग, होता है: $$\zeta(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{x}}$$ यह कैलकुलेटर इसे ऑयलर-मैक्लॉरिन टेल सुधार से तेज़ करता है ताकि केवल लगभग 20 पदों की ही ज़रूरत पड़े। जब x का मान 1 या उससे कम हो, तो यह क्रियात्मक समीकरण $$\zeta(x) = 2^{x}\,\pi^{x-1}\,\sin\!\left(\frac{\pi x}{2}\right)\Gamma(1-x)\,\zeta(1-x)$$ का प्रयोग करता है, जहाँ गामा फ़ंक्शन का मूल्यांकन लैंक्ज़ोस सन्निकटन से किया जाता है। विशेष स्थितियाँ: x = 1 एक साधारण ध्रुव (अनंत) है, और ऋणात्मक सम पूर्णांक (-2, -4, -6, ...) तुच्छ शून्य (trivial zeros) हैं।

फलनात्मक समीकरण zeta(x) को zeta(1-x) से जोड़ता है, जो x = 1/2 के परितः परावर्तित होता है।

हल किया गया उदाहरण

startX = 2, step = 1, iterations = 4 लेने पर बिंदु बनते हैं \(x = 2, 3, 4, 5\)। परिणाम हैं $$\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6} = 1.6449340668,\quad \zeta(3) = 1.2020569032,$$ $$\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90} = 1.0823232337,\quad \zeta(5) = 1.0369277551.$$ इससे संबंधित \(\zeta(x) - 1\) वाला कॉलम 0.6449340668 से शुरू होकर 0 की ओर सिकुड़ता जाता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

zeta(0) क्या है? विश्लेषणात्मक विस्तार (analytic continuation) से \(\zeta(0) = -\tfrac{1}{2}\) मिलता है, इसलिए \(\zeta(0) - 1 = -\tfrac{3}{2}\) होता है।

zeta(-1) क्या है? \(\zeta(-1) = -\tfrac{1}{12}\) है — यही वह प्रसिद्ध नियमित (regularized) मान है जो \(1 + 2 + 3 + \dots\) श्रेणी से जुड़ा हुआ है।

ग्राफ़ -2, -4, -6 पर ठीक शून्य तक क्यों गिर जाता है? ये ज़ीटा फ़ंक्शन के तुच्छ शून्य हैं, जहाँ क्रियात्मक समीकरण में \(\sin(\pi x/2)\) का मान शून्य हो जाता है।