리만 제타 함수 그래프 계산기

계산 입력

x의 시작값

증가폭

반복 횟수

공식

Show calculation steps (1)

1. Zeta for x <= 1 (functional equation)

   

   For x less than or equal to 1 (x not 1) the reflection formula is used; the pole at x = 1 gives infinity and negative even integers give 0.

결과

Riemann zeta at first x = -14

0

ζ(x) − 1 = -1

x	ζ(x)	ζ(x) − 1
-14	0	-1
-13.9	-0.0267245	-1.0267245
-13.8	-0.04860542	-1.04860542
-13.7	-0.06579272	-1.06579272
-13.6	-0.07853882	-1.07853882
-13.5	-0.08717526	-1.08717526
-13.4	-0.0920913	-1.0920913
-13.3	-0.09371454	-1.09371454
-13.2	-0.09249371	-1.09249371
-13.1	-0.08888379	-1.08888379
-13	-0.08333333	-1.08333333
-12.9	-0.07627399	-1.07627399
-12.8	-0.06811217	-1.06811217
-12.7	-0.05922263	-1.05922263
-12.6	-0.04994383	-1.04994383
-12.5	-0.04057497	-1.04057497
-12.4	-0.03137436	-1.03137436
-12.3	-0.02255915	-1.02255915
-12.2	-0.01430597	-1.01430597
-12.1	-0.00675256	-1.00675256
-12	0	-1
-11.9	0.00588448	-0.99411552
-11.8	0.01086429	-0.98913571
-11.7	0.0149301	-0.9850699
-11.6	0.0180962	-0.9819038
-11.5	0.02039698	-0.97960302
-11.4	0.02188329	-0.97811671
-11.3	0.02261909	-0.97738091
-11.2	0.02267817	-0.97732183
-11.1	0.02214117	-0.97785883
-11	0.0210928	-0.9789072
-10.9	0.01961939	-0.98038061
-10.8	0.01780675	-0.98219325
-10.7	0.01573826	-0.98426174
-10.6	0.01349333	-0.98650667
-10.5	0.01114612	-0.98885388
-10.4	0.00876456	-0.99123544
-10.3	0.00640958	-0.99359042
-10.2	0.00413466	-0.99586534
-10.1	0.0019855	-0.9980145
-10	0	-1
-9.9	-0.00179171	-1.00179171
-9.8	-0.00336698	-1.00336698
-9.7	-0.00471033	-1.00471033
-9.6	-0.00581295	-1.00581295
-9.5	-0.00667217	-1.00667217
-9.4	-0.00729087	-1.00729087
-9.3	-0.00767684	-1.00767684
-9.2	-0.00784209	-1.00784209
-9.1	-0.00780223	-1.00780223
-9	-0.00757576	-1.00757576
-8.9	-0.00718343	-1.00718343
-8.8	-0.00664766	-1.00664766
-8.7	-0.00599187	-1.00599187
-8.6	-0.00524001	-1.00524001
-8.5	-0.00441603	-1.00441603
-8.4	-0.00354343	-1.00354343
-8.3	-0.00264485	-1.00264485
-8.2	-0.00174173	-1.00174173
-8.1	-0.00085404	-1.00085404
-8	0	-1
-7.9	0.00080409	-0.99919591
-7.8	0.001544	-0.998456
-7.7	0.00220766	-0.99779234
-7.6	0.00278521	-0.99721479
-7.5	0.00326904	-0.99673096
-7.4	0.00365373	-0.99634627
-7.3	0.00393604	-0.99606396
-7.2	0.00411479	-0.99588521
-7.1	0.00419079	-0.99580921
-7	0.00416667	-0.99583333
-6.9	0.00404677	-0.99595323
-6.8	0.003837	-0.996163
-6.7	0.0035446	-0.9964554
-6.6	0.00317803	-0.99682197
-6.5	0.00274677	-0.99725323
-6.4	0.00226113	-0.99773887
-6.3	0.00173207	-0.99826793
-6.2	0.00117102	-0.99882898
-6.1	0.00058972	-0.99941028
-6	0	-1
-5.9	-0.00058632	-1.00058632
-5.8	-0.00115764	-1.00115764
-5.7	-0.00170268	-1.00170268
-5.6	-0.00221068	-1.00221068
-5.5	-0.00267146	-1.00267146
-5.4	-0.00307559	-1.00307559
-5.3	-0.00341446	-1.00341446
-5.2	-0.00368044	-1.00368044
-5.1	-0.00386688	-1.00386688
-5	-0.00396825	-1.00396825
-4.9	-0.00398023	-1.00398023
-4.8	-0.00389969	-1.00389969
-4.7	-0.00372483	-1.00372483
-4.6	-0.00345518	-1.00345518
-4.5	-0.00309167	-1.00309167
-4.4	-0.00263663	-1.00263663
-4.3	-0.00209389	-1.00209389
-4.2	-0.00146872	-1.00146872
-4.1	-0.00076797	-1.00076797
-4	0	-1
-3.9	0.0008252	-0.9991748
-3.8	0.00169605	-0.99830395
-3.7	0.00259925	-0.99740075
-3.6	0.00351984	-0.99648016
-3.5	0.00444101	-0.99555899
-3.4	0.00534415	-0.99465585
-3.3	0.00620868	-0.99379132
-3.2	0.00701197	-0.99298803
-3.1	0.00772923	-0.99227077
-3	0.00833333	-0.99166667
-2.9	0.00879463	-0.99120537
-2.8	0.00908073	-0.99091927
-2.7	0.00915625	-0.99084375
-2.6	0.00898246	-0.99101754
-2.5	0.00851693	-0.99148307
-2.4	0.00771302	-0.99228698
-2.3	0.00651938	-0.99348062
-2.2	0.00487921	-0.99512079
-2.1	0.0027295	-0.9972705
-2	0	-1
-1.9	-0.00338796	-1.00338796
-1.8	-0.00752293	-1.00752293
-1.7	-0.01250521	-1.01250521
-1.6	-0.01844899	-1.01844899
-1.5	-0.0254852	-1.0254852
-1.4	-0.03376499	-1.03376499
-1.3	-0.04346408	-1.04346408
-1.2	-0.05478844	-1.05478844
-1.1	-0.06798145	-1.06798145
-1	-0.08333333	-1.08333333

이 계산기의 기능

리만 제타 함수 그래프 계산기는 실수 인수에 대한 리만 제타 함수 \(\zeta(x)\)를 지정한 x 구간에서 계산합니다. 각 지점마다 \(\zeta(x)\) 값과 함께, 1을 뺀 \(\zeta(x) - 1\) 값을 함께 보여 줍니다. x가 큰 양수로 갈수록 \(\zeta(x)\)는 1에 가까워지기 때문에, \(\zeta(x) - 1\)을 보면 0으로 잦아드는 꼬리(tail)의 변화를 훨씬 또렷하게 확인할 수 있어 유용합니다. 결과는 표 형태로 출력되며, 이 표는 그대로 그래프를 그리는 데이터로도 활용됩니다.

실수 리만 제타 함수 \(\zeta(x)\). x=1에 극이 있고 y=1에 수평 점근선이 있습니다.

사용 방법

세 개의 숫자를 입력하면 됩니다. x의 시작값, 매 반복마다 더해지는 증가폭(step), 그리고 반복 횟수(즉 계산할 지점의 개수)입니다. 계산기는 \(k = 0, 1, \dots, \text{반복 횟수} - 1\)에 대해 $$x_k = \text{startX} + k \times \text{stepX}$$ 를 만들고, 각 지점에서 zeta 값을 계산합니다. 예를 들어 startX = -14, step = 0.1, 반복 횟수 131로 설정하면 x가 -14부터 -1까지 훑어 내려갑니다.

공식 풀이

\(x > 1\) 일 때 제타 함수는 \(1/n^x\) 의 합으로 수렴하는 디리클레 급수입니다. $$\zeta(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{x}}$$ 이 계산기는 오일러–매클로린(Euler–Maclaurin) 꼬리 보정을 적용해 수렴을 가속하므로 약 20개 항만으로도 충분히 정밀한 값을 얻습니다. x가 1 이하일 때는 함수 방정식 $$\zeta(x) = 2^{x}\,\pi^{x-1}\,\sin\!\left(\frac{\pi x}{2}\right)\Gamma(1-x)\,\zeta(1-x)$$ 를 사용하며, 여기서 감마 함수는 란초스(Lanczos) 근사로 계산합니다. 특수한 경우로, x = 1은 단순극(simple pole)이라 값이 무한대로 발산하고, 음의 짝수 정수(-2, -4, -6, ...)는 자명한 영점(trivial zero)입니다.

함수 방정식은 \(\zeta(x)\)와 \(\zeta(1-x)\)를 연결하며 \(x = 1/2\)를 기준으로 대칭을 이룹니다.

계산 예시

startX = 2, step = 1, 반복 횟수 = 4로 설정하면 지점은 x = 2, 3, 4, 5가 됩니다. 결과는 \(\zeta(2) = \pi^2/6 = 1.6449340668\), \(\zeta(3) = 1.2020569032\), \(\zeta(4) = \pi^4/90 = 1.0823232337\), \(\zeta(5) = 1.0369277551\) 입니다. 이에 대응하는 \(\zeta(x) - 1\) 열은 0.6449340668에서 시작해 점점 0에 가까워집니다.

자주 묻는 질문

\(\zeta(0)\)은 얼마인가요? 해석적 연속(analytic continuation)에 따르면 \(\zeta(0) = -1/2\) 이며, 따라서 \(\zeta(0) - 1 = -3/2\) 입니다.

\(\zeta(-1)\)은 얼마인가요? \(\zeta(-1) = -1/12\) 로, 1 + 2 + 3 + ... 의 정규화된 값으로 유명한 그 수입니다.

왜 그래프가 -2, -4, -6에서 정확히 0으로 떨어지나요? 이 지점들은 제타 함수의 자명한 영점이며, 함수 방정식 안의 \(\sin(\pi x/2)\)가 0이 되기 때문입니다.