Что делает этот калькулятор
Калькулятор графика дзета-функции Римана вычисляет дзета-функцию действительного аргумента \(\zeta(x)\) на заданном диапазоне значений \(x\). Для каждой точки он выводит два значения: саму \(\zeta(x)\) и смещённую величину \(\zeta(x) - 1\). Второй столбец особенно удобен: при больших положительных \(x\) функция \(\zeta(x)\) стремится к 1, поэтому именно \(\zeta(x) - 1\) наглядно показывает, как «затухает хвост» функции. Результат оформлен в виде таблицы, которая одновременно служит данными для построения графика.
Как пользоваться
Введите три числа: начальное значение \(x\), шаг (приращение), которое прибавляется на каждой итерации, и количество итераций (точек). Калькулятор строит последовательность $$x_k = \text{startX} + k \cdot \text{stepX}, \quad k = 0, 1, \dots, \text{iterations} - 1$$ и считает \(\zeta\) в каждой точке. Например, при \(\text{startX} = -14\), \(\text{step} = 0{,}1\) и 131 итерации \(x\) пройдёт диапазон от \(-14\) до \(-1\).
Разбор формулы
При \(x > 1\) функция представляет собой сходящийся ряд Дирихле — сумму \(1/n^{x}\):
$$\zeta(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{x}}$$Калькулятор ускоряет вычисление с помощью поправки Эйлера—Маклорена для «хвоста» ряда, благодаря чему достаточно всего около 20 слагаемых. При \(x \le 1\) используется функциональное уравнение $$\zeta(x) = 2^{x}\,\pi^{x-1}\,\sin\!\left(\frac{\pi x}{2}\right)\Gamma(1-x)\,\zeta(1-x)$$ где гамма-функция вычисляется по приближению Ланцоша. Особые случаи: \(x = 1\) — простой полюс (бесконечность), а отрицательные чётные целые (\(-2, -4, -6, \dots\)) дают тривиальные нули.
Разбор примера
При \(\text{startX} = 2\), \(\text{step} = 1\), \(\text{iterations} = 4\) получаем точки \(x = 2, 3, 4, 5\). Результаты: \(\zeta(2) = \pi^{2}/6 = 1{,}6449340668\), \(\zeta(3) = 1{,}2020569032\), \(\zeta(4) = \pi^{4}/90 = 1{,}0823232337\) и \(\zeta(5) = 1{,}0369277551\). Соответствующий столбец \(\zeta(x) - 1\) начинается со значения \(0{,}6449340668\) и стремится к 0.
Частые вопросы
Чему равна \(\zeta(0)\)? Аналитическое продолжение даёт \(\zeta(0) = -1/2\), поэтому \(\zeta(0) - 1 = -3/2\).
Чему равна \(\zeta(-1)\)? \(\zeta(-1) = -1/12\) — знаменитое регуляризованное значение, связанное с суммой \(1 + 2 + 3 + \dots\)
Почему график обращается в ноль именно в точках \(-2, -4, -6\)? Это тривиальные нули дзета-функции: в этих точках множитель \(\sin(\pi x/2)\) в функциональном уравнении обращается в ноль.
