Что считает этот калькулятор
Инструмент вычисляет два линейно независимых решения дифференциального уравнения Бесселя \(x^2y'' + xy' + (x^2 - v^2)y = 0\): функцию Бесселя первого рода Jv(x), функцию второго рода Yv(x) (её также называют функцией Неймана) и их первые производные J'v(x) и Y'v(x). На вход принимается любой действительный порядок v (целый, дробный или отрицательный) и действительный аргумент x. Функции Бесселя встречаются повсюду в физике и инженерных расчётах — это колебания круглых мембран, теплопроводность в цилиндрах, распространение электромагнитных волн в волноводах и обработка сигналов.
Как пользоваться
Укажите порядок v (например, 0, 1 или 0,5), аргумент x и выберите, сколько знаков выводить в результате. Нажмите «Рассчитать» — и вы увидите все четыре значения. Для нецелого порядка берите x ≥ 0, поскольку при отрицательном x множитель \((x/2)^{v}\) становится комплексным. В точке x = 0 функции второго рода имеют особенность и помечаются как неопределённые.
Разбор формулы
Jv(x) вычисляется по степенному ряду через гамма-функцию:
$$J_{\nu}(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{k!\,\Gamma(\nu+k+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2k+\nu}$$члены суммируются один за другим с помощью устойчивой рекуррентной формулы, пока их величина не упадёт ниже заданной точности. Для нецелого порядка Yv(x) находится по формуле
$$Y_{\nu}(x) = \frac{J_{\nu}(x)\cos(\nu\pi) - J_{-\nu}(x)}{\sin(\nu\pi)}$$для целого порядка калькулятор слегка возмущает v (на 1e-7), чтобы избежать деления на \(\sin(\nu\pi) = 0\). Производные считаются по рекуррентному соотношению
$$C_{\nu}^{\prime}(x) = \tfrac{1}{2}\bigl(C_{\nu-1}(x) - C_{\nu+1}(x)\bigr)$$с частным случаем \(C_{0}^{\prime}(x) = -C_{1}(x)\).
Пример расчёта
Возьмём \(v = 0\) и \(x = 1\). Ряд для \(J_{0}(1)\) даёт
$$1 - 0{,}25 + 0{,}015625 - 0{,}000434 + \dots \approx 0{,}7651977$$Известные значения остальных величин: \(Y_{0}(1) \approx 0{,}0882570\), \(J_{0}^{\prime}(1) = -J_{1}(1) \approx -0{,}4400506\) и \(Y_{0}^{\prime}(1) = -Y_{1}(1) \approx 0{,}7812128\).
Частые вопросы
Можно ли задавать отрицательный или дробный порядок? Да. Степенной ряд и гамма-функция работают с любым действительным v. Только при нецелом v держите x ≥ 0.
Почему Y не определена при x = 0? Все функции Бесселя второго рода уходят в минус бесконечность при x → 0, поэтому конечного значения в этой точке не существует.
Насколько точны вычисления? Расчёты ведутся с двойной точностью (около 15 значащих цифр). Параметр «количество знаков» влияет только на формат вывода, но не на сами вычисления.
Ключевые термины и переменные
- Порядок \(\nu\)
- Параметр \(\nu\) в \(J_\nu(x)\) и \(Y_\nu(x)\), который определяет форму дифференциального уравнения \(x^2 y'' + x y' + (x^2-\nu^2)y = 0\). Он может быть любым вещественным числом; целые порядки (\(\nu = 0,1,2,\dots\)) возникают при угловом разделении в цилиндрических координатах, в то время как полуцелые порядки дают сферические функции Бесселя, выражаемые через элементарные функции.
- Аргумент \(x\)
- Независимая переменная, при которой вычисляется функция, обычно масштабированное радиальное расстояние \(x = kr\). Для вещественного \(x\), \(J_\nu\) принимает вещественные значения при целом \(\nu\), а \(Y_\nu\) определена только для \(x>0\).
- Функция Бесселя первого рода \(J_\nu(x)\)
- Решение, которое конечно в начале координат (для \(\nu\ge 0\)), определяемое рядом \(J_\nu(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(\nu+k+1)}\left(\tfrac{x}{2}\right)^{2k+\nu}\). Оно колеблется с медленно затухающей амплитудой при увеличении \(x\).
- Функция Бесселя второго рода \(Y_\nu(x)\)
- Также называется функцией Неймана (или Вебера), это второе линейно независимое решение. Она определяется через \(Y_\nu(x)=\dfrac{J_\nu(x)\cos(\nu\pi)-J_{-\nu}(x)}{\sin(\nu\pi)}\) (с предельной формой для целого \(\nu\)) и расходится логарифмически или как степень \(x\) в начале координат.
- Производные \(J'_\nu(x)\), \(Y'_\nu(x)\)
- Производные по \(x\). Они удовлетворяют рекуррентному соотношению \(C'_\nu(x)=\tfrac{1}{2}\bigl(C_{\nu-1}(x)-C_{\nu+1}(x)\bigr)\) и \(C'_\nu(x)=C_{\nu-1}(x)-\tfrac{\nu}{x}C_\nu(x)\), где \(C\) обозначает либо \(J\), либо \(Y\). В частности, \(J'_0(x)=-J_1(x)\).
- Гамма-функция \(\Gamma(z)\)
- Непрерывное расширение факториала, где \(\Gamma(n+1)=n!\) для неотрицательных целых чисел, появляющееся в знаменателе ряда \(J_\nu\) для допуска нецелого порядка. Смотрите Калькулятор гамма-функции для отдельных значений.
- Нули (корни)
- Значения \(j_{\nu,m}\) и \(y_{\nu,m}\), где \(J_\nu(x)=0\) или \(Y_\nu(x)=0\). Они служат собственными значениями в краевых задачах; например, частоты колебания закрепленной круглой мембраны пропорциональны нулям \(j_{\nu,m}\).
