這個計算器的用途
本工具用來求解貝索微分方程 \(x^2y'' + xy' + (x^2 - v^2)y = 0\) 的兩個線性獨立解：第一類貝索函數 \(J_v(x)\)、第二類貝索函數 \(Y_v(x)\)（又稱諾伊曼函數，Neumann function），以及它們的一階導數 \(J'_v(x)\) 與 \(Y'_v(x)\)。它可接受任意實數階 \(v\)（整數、分數或負數），以及任意實數引數 \(x\)。貝索函數在物理與工程領域無所不在——圓形薄膜的振動、圓柱體的熱傳導、波導中的電磁波，以及訊號處理等都會用到。
使用方法
輸入階數 \(v\)（例如 0、1 或 0.5）、引數 \(x\)，再選擇要顯示的位數。按下計算，即可一次看到四個數值。當階數不是整數時，請使用 \(x \geq 0\)，因為當 \(x\) 為負時 \(\left(\frac{x}{2}\right)^{v}\) 會變成複數。在 \(x = 0\) 時，第二類函數會發散（奇異），會標示為「未定義」。
公式說明
\(J_v(x)\) 由其冪級數搭配伽瑪函數計算而得，採用穩定的遞迴逐項相加，直到各項小於容許誤差為止。
$$J_{\nu}(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{k!\,\Gamma(\nu+k+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2k+\nu}$$
對於非整數階，\(Y_v(x)\) 使用
$$Y_{\nu}(x) = \frac{J_{\nu}(x)\cos(\nu\pi) - J_{-\nu}(x)}{\sin(\nu\pi)}$$
若為整數階，計算器會將 \(v\) 微幅擾動（增加 \(1\mathrm{e}{-7}\)），以避免分母 \(\sin(\nu\pi)=0\) 造成除以零。導數則使用遞迴關係
$$C_{\nu}^{\prime}(x) = \tfrac{1}{2}\bigl(C_{\nu-1}(x) - C_{\nu+1}(x)\bigr)$$
並對特例 \(C'_0(x) = -C_1(x)\) 另行處理。
實例演算
當 \(v = 0\) 且 \(x = 1\) 時：\(J_0(1)\) 的級數為
$$1 - 0.25 + 0.015625 - 0.000434 + \dots \approx 0.7651977$$
其餘已知值為 \(Y_0(1) \approx 0.0882570\)、\(J'_0(1) = -J_1(1) \approx -0.4400506\)，以及 \(Y'_0(1) = -Y_1(1) \approx 0.7812128\)。
關鍵術語和變數
- 階數 \(\nu\)
- 微分方程 \(x^2 y'' + x y' + (x^2-\nu^2)y = 0\) 中 \(J_\nu(x)\) 和 \(Y_\nu(x)\) 的參數 \(\nu\)，用於設定微分方程的形式。它可以是任何實數；整數階 (\(\nu = 0,1,2,\dots\)) 源自圓柱坐標中的角度分離，而半整數階產生可用初等函數表示的球形貝塞爾函數。
- 自變數 \(x\)
- 函數求值的自變數，通常是縮放的徑向距離 \(x = kr\)。對於實數 \(x\)，當 \(\nu\) 為整數時 \(J_\nu\) 是實值的，而 \(Y_\nu\) 僅在 \(x>0\) 時定義。
- 第一類貝塞爾函數 \(J_\nu(x)\)
- 在原點處有限的解（對於 \(\nu\ge 0\)），由級數 \(J_\nu(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(\nu+k+1)}\left(\tfrac{x}{2}\right)^{2k+\nu}\) 定義。當 \(x\) 增加時，它以緩慢衰減的幅度振盪。
- 第二類貝塞爾函數 \(Y_\nu(x)\)
- 也稱為紐曼（或韋伯）函數，是第二個線性獨立解。它通過 \(Y_\nu(x)=\dfrac{J_\nu(x)\cos(\nu\pi)-J_{-\nu}(x)}{\sin(\nu\pi)}\) 定義（對於整數 \(\nu\) 有極限形式），在原點處以對數或 \(x\) 的冪次發散。
- 導數 \(J'_\nu(x)\)、\(Y'_\nu(x)\)
- 關於 \(x\) 的導數。它們滿足遞推關係 \(C'_\nu(x)=\tfrac{1}{2}\bigl(C_{\nu-1}(x)-C_{\nu+1}(x)\bigr)\) 和 \(C'_\nu(x)=C_{\nu-1}(x)-\tfrac{\nu}{x}C_\nu(x)\)，其中 \(C\) 代表 \(J\) 或 \(Y\)。特別地，\(J'_0(x)=-J_1(x)\)。
- 伽馬函數 \(\Gamma(z)\)
- 階乘的連續擴展，對於非負整數有 \(\Gamma(n+1)=n!\)，出現在 \(J_\nu\) 級數的分母中以允許非整數階。查看 伽馬函數計算機 以獲取個別值。
- 零點（根）
- \(J_\nu(x)=0\) 或 \(Y_\nu(x)=0\) 的值 \(j_{\nu,m}\) 和 \(y_{\nu,m}\)。這些在邊界值問題中用作特徵值；例如，固定邊緣圓形膜的頻率與零點 \(j_{\nu,m}\) 成正比。
常見問題
階數可以是負數或分數嗎？可以。級數與伽瑪函數能處理任意實數 \(v\)。只要在非整數階時保持 \(x \geq 0\) 即可。
為什麼 Y 在 x = 0 時未定義？所有第二類貝索函數在 \(x \to 0\) 時都會發散到負無限大，因此在該處沒有有限值。
計算精度如何？運算採用雙精度（約 15 位有效數字）。顯示位數選項只影響數值的呈現格式，並不會改變底層的運算精度。
