यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल बेसेल के अवकल समीकरण \(x^2y'' + xy' + (x^2 - v^2)y = 0\) के दो रैखिकतः स्वतंत्र हलों की गणना करता है: प्रथम प्रकार का बेसेल फ़ंक्शन \(J_v(x)\), द्वितीय प्रकार का फ़ंक्शन \(Y_v(x)\) (जिसे न्यूमैन फ़ंक्शन भी कहते हैं), और उनके प्रथम अवकलज \(J'_v(x)\) तथा \(Y'_v(x)\)। यह किसी भी वास्तविक कोटि \(v\) (पूर्णांक, भिन्नात्मक या ऋणात्मक) और वास्तविक तर्क \(x\) को स्वीकार करता है। बेसेल फ़ंक्शन भौतिकी और इंजीनियरिंग में हर जगह दिखाई देते हैं — कंपित वृत्ताकार झिल्लियाँ, बेलनों में ऊष्मा चालन, वेवगाइड में विद्युतचुंबकीय तरंगें, और सिग्नल प्रोसेसिंग।
इसका उपयोग कैसे करें
कोटि v (उदाहरण के लिए 0, 1, या 0.5), तर्क x दर्ज करें, और चुनें कि आप परिणाम में कितने अंक दिखाना चाहते हैं। चारों मान देखने के लिए कैलकुलेट दबाएँ। गैर-पूर्णांक कोटि के लिए \(x \ge 0\) का उपयोग करें, क्योंकि ऋणात्मक \(x\) पर \((x/2)^v\) सम्मिश्र (complex) हो जाता है। \(x = 0\) पर द्वितीय प्रकार के फ़ंक्शन विचित्र (singular) होते हैं और उन्हें अपरिभाषित दर्शाया जाता है।
सूत्र की व्याख्या
\(J_v(x)\) की गणना उसकी घात-श्रेणी (power series) से गामा फ़ंक्शन का उपयोग करते हुए की जाती है, जहाँ पदों को एक स्थिर पुनरावृत्ति (recurrence) से तब तक जोड़ा जाता है जब तक पद सहनशीलता सीमा से नीचे न गिर जाएँ।
$$J_{\nu}(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{k!\,\Gamma(\nu+k+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2k+\nu}$$गैर-पूर्णांक कोटि के लिए \(Y_v(x)\) में सूत्र का प्रयोग होता है
$$Y_{\nu}(x) = \frac{J_{\nu}(x)\cos(\nu\pi) - J_{-\nu}(x)}{\sin(\nu\pi)}$$पूर्णांक कोटि के लिए कैलकुलेटर \(v\) में थोड़ा परिवर्तन (1e-7) कर देता है ताकि \(\sin(v\pi)=0\) से भाग देने की स्थिति से बचा जा सके। अवकलज पुनरावृत्ति का उपयोग करते हैं,
$$C'_{\nu}(x) = \tfrac{1}{2}\bigl(C_{\nu-1}(x) - C_{\nu+1}(x)\bigr)$$जिसमें विशेष स्थिति \(C'_0(x) = -C_1(x)\) है।
हल किया गया उदाहरण
\(v = 0\) और \(x = 1\) के लिए: \(J_0(1)\) की श्रेणी देती है $$1 - 0.25 + 0.015625 - 0.000434 + \dots \approx 0.7651977$$ ज्ञात मान हैं \(Y_0(1) \approx 0.0882570\), \(J'_0(1) = -J_1(1) \approx -0.4400506\), और \(Y'_0(1) = -Y_1(1) \approx 0.7812128\)।
मुख्य शब्द और चर
- क्रम \(\nu\)
- पैरामीटर \(\nu\) जो \(J_\nu(x)\) और \(Y_\nu(x)\) में अवकल समीकरण \(x^2 y'' + x y' + (x^2-\nu^2)y = 0\) का रूप निर्धारित करता है। यह कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है; पूर्णांक क्रम (\(\nu = 0,1,2,\dots\)) बेलनाकार निर्देशांकों में कोणीय पृथक्करण से उत्पन्न होते हैं, जबकि अर्ध-पूर्णांक क्रम गोलाकार बेसल फलन देते हैं जो प्राथमिक फलनों में व्यक्त किए जा सकते हैं।
- तर्क \(x\)
- स्वतंत्र चर जिस पर फलन का मूल्यांकन किया जाता है, आमतौर पर एक स्केल किया हुआ रेडियल दूरी \(x = kr\)। वास्तविक \(x\) के लिए, \(J_\nu\) पूर्णांक \(\nu\) के लिए वास्तविक-मूल्यवान है, और \(Y_\nu\) केवल \(x>0\) के लिए परिभाषित है।
- प्रथम प्रकार का बेसल फलन \(J_\nu(x)\)
- वह समाधान जो मूल बिंदु पर परिमित है (\(\nu\ge 0\) के लिए), श्रेणी \(J_\nu(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(\nu+k+1)}\left(\tfrac{x}{2}\right)^{2k+\nu}\) द्वारा परिभाषित है। यह धीरे-धीरे क्षय होते आयाम के साथ दोलन करता है जैसे-जैसे \(x\) बढ़ता है।
- द्वितीय प्रकार का बेसल फलन \(Y_\nu(x)\)
- नॉयमन (या वेबर) फलन भी कहा जाता है, यह दूसरा रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान है। यह \(Y_\nu(x)=\dfrac{J_\nu(x)\cos(\nu\pi)-J_{-\nu}(x)}{\sin(\nu\pi)}\) के माध्यम से परिभाषित है (पूर्णांक \(\nu\) के लिए एक सीमित रूप के साथ) और मूल बिंदु पर लघुगणकीय रूप से या \(x\) की शक्ति के रूप में विचलित होता है।
- अवकलज \(J'_\nu(x)\), \(Y'_\nu(x)\)
- \(x\) के संबंध में अवकलज। वे पुनरावृत्ति संबंध \(C'_\nu(x)=\tfrac{1}{2}\bigl(C_{\nu-1}(x)-C_{\nu+1}(x)\bigr)\) और \(C'_\nu(x)=C_{\nu-1}(x)-\tfrac{\nu}{x}C_\nu(x)\) को संतुष्ट करते हैं, जहां \(C\) या तो \(J\) या \(Y\) के लिए खड़ा है। विशेष रूप से \(J'_0(x)=-J_1(x)\)।
- गामा फलन \(\Gamma(z)\)
- भाज्य का सतत विस्तार, जिसमें गैर-नकारात्मक पूर्णांकों के लिए \(\Gamma(n+1)=n!\) है, जो गैर-पूर्णांक क्रम की अनुमति देने के लिए \(J_\nu\) श्रेणी के हर में दिखाई देता है। व्यक्तिगत मानों के लिए गामा फलन कैलकुलेटर देखें।
- शून्य (मूल)
- मान \(j_{\nu,m}\) और \(y_{\nu,m}\) जहां \(J_\nu(x)=0\) या \(Y_\nu(x)=0\)। ये सीमा-मूल्य समस्याओं में eigenvalues के रूप में कार्य करते हैं; उदाहरण के लिए, स्थिर-किनारे वृत्ताकार झिल्ली की आवृत्तियां शून्य \(j_{\nu,m}\) के समानुपाती होती हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या कोटि ऋणात्मक या भिन्नात्मक हो सकती है? हाँ। श्रेणी और गामा फ़ंक्शन किसी भी वास्तविक \(v\) को संभाल लेते हैं। बस गैर-पूर्णांक \(v\) के लिए \(x \ge 0\) रखें।
x = 0 पर Y अपरिभाषित क्यों है? द्वितीय प्रकार के सभी बेसेल फ़ंक्शन \(x \to 0\) पर ऋणात्मक अनंत की ओर विचलित हो जाते हैं, इसलिए वहाँ कोई परिमित मान मौजूद नहीं होता।
यह कितना सटीक है? गणनाएँ डबल प्रिसिज़न (लगभग 15 सार्थक अंक) में होती हैं। प्रदर्शन-अंक वाला विकल्प केवल फ़ॉर्मेटिंग को नियंत्रित करता है, अंतर्निहित गणित को नहीं।
