छह त्रिकोणमितीय फलन और उनके प्रतिलोम कैलकुलेटर

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गणना मोड फॉरवर्ड (कोण से अनुपात) इनवर्स (मान से कोण)

कोण (फॉरवर्ड मोड)

कोण की इकाई डिग्री रेडियन ग्रेडियन

प्रतिलोम फलन (इनवर्स मोड) arcsin (asin) arccos (acos) arctan (atan) arccot (acot) arcsec (asec) arccsc (acsc)

मान

परिणाम कोण की इकाई डिग्री रेडियन ग्रेडियन

सूत्र (फॉर्मूला)

Show calculation steps (1)

1. Inverse functions

   

   The inverse trig functions return the angle whose ratio equals the given value, on each function's principal range.

परिणाम

sin(theta)

0.5

cos(theta)	0.8660254
tan(theta)	0.57735027
cot(theta)	1.73205081
sec(theta)	1.15470054
csc(theta)	2
कोण (रेडियन)	0.52359878

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल दो दिशाओं में काम करता है। फॉरवर्ड मोड में आप एक कोण देते हैं और यह एक साथ छहों त्रिकोणमितीय अनुपात लौटाता है: sine, cosine, tangent, cotangent, secant और cosecant। इनवर्स (प्रतिलोम) मोड में आप एक अनुपात मान और कोई प्रतिलोम फलन (arcsin, arccos, arctan, arccot, arcsec या arccsc) चुनते हैं, और यह वह कोण बताता है जिससे वह मान बनता है। यह शुद्ध गणित है, इसलिए परिणाम दुनिया भर में हर जगह एक जैसे ही रहते हैं।

समकोण त्रिभुज पर छह अनुपात

किसी समकोण त्रिभुज के भीतर कोण \(\theta\) के लिए, \(\theta\) के सामने वाली भुजा को सम्मुख (opposite), उससे सटी हुई भुजा (कर्ण को छोड़कर) को आसन्न (adjacent), और सबसे लंबी भुजा को कर्ण (hypotenuse) कहते हैं। तब

$$\sin\theta=\frac{\text{opp}}{\text{hyp}},\quad \cos\theta=\frac{\text{adj}}{\text{hyp}},\quad \tan\theta=\frac{\text{opp}}{\text{adj}}$$

होता है। बाकी तीन इनके व्युत्क्रम हैं: \(\cot\theta=\tfrac{1}{\tan\theta}\), \(\sec\theta=\tfrac{1}{\cos\theta}\) और \(\csc\theta=\tfrac{1}{\sin\theta}\)।

इकाई वृत्त पर, cos θ और sin θ बिंदु के x और y निर्देशांक हैं, जो अनुपातों को किसी भी कोण तक विस्तारित करते हैं।

छह त्रिकोणमितीय अनुपात कोण θ के सापेक्ष सम्मुख, आसन्न और कर्ण भुजाओं से बनते हैं।

इसका उपयोग कैसे करें

पहले मोड चुनें। फॉरवर्ड मोड के लिए कोण टाइप करें और उसकी इकाई चुनें (डिग्री, रेडियन या ग्रेडियन); कैलकुलेटर इसे आंतरिक रूप से क्रमशः \(\pi/180\), \(1\) और \(\pi/200\) गुणकों से रेडियन में बदल देता है। इनवर्स मोड के लिए प्रतिलोम फलन चुनें, अनुपात मान टाइप करें, और जिस इकाई में उत्तर चाहिए उसे चुनें।

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हल किया हुआ उदाहरण

फॉरवर्ड, कोण = 30 डिग्री। रूपांतरण:

$$30 \times \frac{\pi}{180} = 0.5235988 \text{ रेडियन}$$

अनुपात इस प्रकार हैं: \(\sin = 0.5\), \(\cos = 0.8660254\), \(\tan = 0.5773503\), \(\cot = 1.7320508\), \(\sec = 1.1547005\) और \(\csc = 2\)। इनवर्स से जाँच:

$$\arcsin(0.5) = 0.5235988 \text{ रेडियन} = 30 \text{ डिग्री}$$

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

tan या sec कभी-कभी "undefined" क्यों दिखाता है? tangent और secant दोनों \(\cos(\theta)\) से भाग देते हैं, जो 90 डिग्री, 270 डिग्री आदि पर शून्य होता है। cotangent और cosecant \(\sin(\theta)\) से भाग देते हैं, जो 0 और 180 डिग्री पर शून्य होता है। कैलकुलेटर इन स्थितियों को पहचान लेता है और किसी अर्थहीन विशाल संख्या के बजाय "undefined" बता देता है।

कोई प्रतिलोम फलन "out of domain" क्यों कहता है? arcsin और arccos केवल \(-1\) से \(1\) तक के मान स्वीकार करते हैं, जबकि arcsec और arccsc केवल वे मान स्वीकार करते हैं जिनका निरपेक्ष मान कम से कम \(1\) हो। इन सीमाओं के बाहर कोई वास्तविक कोण मौजूद नहीं होता।

प्रतिलोम फलन कोण की कौन-सी सीमा लौटाते हैं? प्रत्येक प्रतिलोम फलन अपना मुख्य मान (principal value) लौटाता है: arcsin और arctan \([-90, 90]\) डिग्री में, arccos \([0, 180]\) में, और arccot \((0, 180)\) में।