यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह उपकरण पहली तरह के गोलाकार बेसेल फलन \(j_{\nu}(x)\) की गणना \(x\) के क्रमिक मानों पर करके एक तालिका तैयार करता है। आप कोटि \(\nu\), \(x\) का प्रारंभिक मान, चरण (step) का आकार, और कितनी पंक्तियाँ बनानी हैं — यह सब चुनते हैं। कैलकुलेटर \((x, j_{\nu}(x))\) के जोड़ों की दो-स्तंभ वाली तालिका लौटाता है। यह विशुद्ध गणित है और दुनिया भर में एक समान लागू होता है — इसमें किसी देश या इकाई से जुड़ी कोई धारणा शामिल नहीं है।
इसका उपयोग कैसे करें
कोटि \(\nu\) दर्ज करें (यह कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है, जैसे 0, 1, 2 या 1.5), फिर \(x\) का प्रारंभिक मान, हर पंक्ति में \(x\) में जोड़ी जाने वाली वृद्धि (increment), और पंक्तियों की संख्या। हर पंक्ति \(k\) के लिए $$x_k = \text{initialX} + k\cdot\text{stepX}$$ का उपयोग होता है। सबसे ऊपर दिखने वाली मुख्य संख्या सबसे पहले \(x\) पर \(j_{\nu}\) का मान दर्शाती है; तालिका में हर उत्पन्न मान सूचीबद्ध होता है।
सूत्र की व्याख्या
सामान्य वास्तविक कोटि के लिए, $$j_{\nu}(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}}\; J_{\nu+\frac{1}{2}}(x)$$ जहाँ \(J\) पहली तरह का सामान्य बेसेल फलन है, जिसका मूल्यांकन उसकी घात-श्रेणी (power series) और लांचोस गामा फलन की मदद से किया जाता है। पूर्णांक कोटि के लिए कैलकुलेटर संख्यात्मक रूप से स्थिर बंद रूपों \(j_0(x) = \sin(x)/x\) और \(j_1(x) = \sin(x)/x^2 - \cos(x)/x\) का उपयोग करता है, और फिर ऊपर की ओर पुनरावृत्ति (upward recurrence) $$j_{n+1}(x) = \frac{2n+1}{x}\cdot j_n(x) - j_{n-1}(x)$$ के सहारे आगे बढ़ता है। \(x = 0\) पर सीमा (limit) लागू होती है: \(j_0(0) = 1\) और \(\nu > 0\) के लिए \(j_n(0) = 0\), जिससे शून्य से भाग देने की समस्या टल जाती है।
हल किया गया उदाहरण
कोटि \(\nu = 0\), \(\text{initialX} = 0\), \(\text{stepX} = 0.2\), और 6 पंक्तियाँ लेने पर \(x = 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0\) मिलते हैं। \(j_0(x) = \sin(x)/x\) का उपयोग करते हुए: $$j_0(0)=1,\quad j_0(0.2)=0.993347,\quad j_0(0.4)=0.973546,$$ $$j_0(0.6)=0.941071,\quad j_0(0.8)=0.896695,\quad j_0(1.0)=0.841471$$ — यानी जाना-पहचाना क्षीण होता हुआ (damped) sinc आकार।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या कोटि भिन्न (fraction) हो सकती है? हाँ। गैर-पूर्णांक \(\nu\) के लिए \(\sqrt{\pi/2x}\cdot J\) श्रेणी वाला रूप उपयोग होता है।
जब \(x\) की शुरुआत 0 से होती है, तो पहला मान ठीक 1 क्यों होता है? क्योंकि सीमा के अनुसार \(j_0(0) = 1\) होता है; \(\nu > 0\) के लिए यह सीमा 0 होती है।
क्या ऊपर की ओर पुनरावृत्ति हमेशा सुरक्षित है? सामान्य कोटियों और तालिका में दिखने वाले विशिष्ट \(x\) मानों के लिए, हाँ। जब कोटि, \(x\) की तुलना में बहुत बड़ी हो, तो नीचे की ओर पुनरावृत्ति (downward recurrence) अधिक स्थिर रहती है, पर यहाँ इसकी ज़रूरत बहुत कम पड़ती है।
