Qué hace esta calculadora
Esta herramienta tabula la función esférica de Bessel de primera especie, \(j_{\nu}(x)\), en una secuencia de valores de x. Tú eliges el orden \(\nu\), un valor inicial de x, el tamaño del paso y cuántas filas quieres generar. La calculadora devuelve una tabla de dos columnas con los pares \((x, j_{\nu}(x))\). Es matemática pura y funciona igual en cualquier parte del mundo: no depende de ningún país ni de ninguna unidad de medida concreta.
Cómo usarla
Introduce el orden \(\nu\) (puede ser cualquier número real, por ejemplo 0, 1, 2 o 1.5), el valor inicial de x, el incremento que se suma a x en cada fila y el número de filas. Cada fila \(k\) utiliza \(x_k = x_{\text{Inicial}} + k\cdot\text{pasoX}\). El primer número destacado muestra \(j_{\nu}\) en el primer valor de x; la tabla recoge todos los valores generados.
La fórmula explicada
Para un orden real general, $$j_{\nu}(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}}\; J_{\nu+\frac{1}{2}}(x),$$ donde \(J\) es la función ordinaria de Bessel de primera especie, calculada mediante su serie de potencias con una función gamma de Lanczos. Para órdenes enteros, la calculadora emplea las formas cerradas numéricamente estables \(j_0(x) = \sin(x)/x\) y \(j_1(x) = \sin(x)/x^2 - \cos(x)/x\), y a partir de ahí asciende con la recurrencia hacia arriba $$j_{n+1}(x) = \frac{2n+1}{x}\cdot j_n(x) - j_{n-1}(x).$$ En \(x = 0\) se aplica el límite: \(j_0(0) = 1\) y \(j_n(0) = 0\) para \(\nu > 0\), evitando así la división por cero.
Ejemplo resuelto
Con orden \(\nu = 0\), \(x_{\text{Inicial}} = 0\), \(\text{pasoX} = 0.2\) y 6 filas obtenemos \(x = 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0\). Aplicando \(j_0(x) = \sin(x)/x\): $$j_0(0)=1,\quad j_0(0.2)=0.993347,\quad j_0(0.4)=0.973546,\quad j_0(0.6)=0.941071,\quad j_0(0.8)=0.896695,\quad j_0(1.0)=0.841471,$$ es decir, la conocida forma de sinc amortiguada.
Preguntas frecuentes
¿Puede el orden ser una fracción? Sí. Un orden \(\nu\) no entero utiliza la forma en serie \(\sqrt{\pi/2x}\cdot J\).
¿Por qué el primer valor es exactamente 1 cuando x parte de 0? Porque \(j_0(0) = 1\) por límite; para \(\nu > 0\) el límite es 0.
¿La recurrencia hacia arriba es siempre segura? Para órdenes moderados y valores de x habituales en una tabla, sí. Cuando el orden es muy grande respecto a x, la recurrencia hacia abajo resulta más estable, pero eso rara vez hace falta aquí.
