Calculadora de tabla de la función esférica de Bessel de segunda especie

Ingresar cálculo

Orden v

Valor inicial de x

Incremento de x (paso)

Número de repeticiones (filas)

Resultados

First value y_v(x) (order v = 0)

-4,900333

función esférica de Bessel de segunda especie

x	yv(x)
0.0000	undefined
0.2000	-4.900333
0.4000	-2.302652
0.6000	-1.375559
0.8000	-0.870883
1.0000	-0.540302
1.2000	-0.301965
1.4000	-0.121405
1.6000	0.018250
1.8000	0.126223
2.0000	0.208073
2.2000	0.267501
2.4000	0.307247
2.6000	0.329573
2.8000	0.336508
3.0000	0.329997
3.2000	0.311967
3.4000	0.284352
3.6000	0.249100
3.8000	0.208149
4.0000	0.163411
4.2000	0.116729
4.4000	0.069848
4.6000	0.024381
4.8000	-0.018229
5.0000	-0.056732
5.2000	-0.090099
5.4000	-0.117536
5.6000	-0.138494
5.8000	-0.152676
6.0000	-0.160028
6.2000	-0.160733
6.4000	-0.155185
6.6000	-0.143975
6.8000	-0.127853
7.0000	-0.107700
7.2000	-0.084493
7.4000	-0.059263
7.6000	-0.033061
7.8000	-0.006917
8.0000	0.018188
8.2000	0.041360
8.4000	0.061820
8.6000	0.078921
8.8000	0.092170
9.0000	0.101237
9.2000	0.105961
9.4000	0.106350
9.6000	0.102572
9.8000	0.094941
10.0000	0.083907

¿Qué es la función esférica de Bessel de segunda especie?

La función esférica de Bessel de segunda especie, que se escribe \(y_v(x)\), es una solución de la ecuación diferencial esférica de Bessel \(x^2 w'' + 2x w' + (x^2 - v(v+1))w = 0\). Aparece por toda la física: en la teoría de la dispersión, en la mecánica cuántica (la ecuación radial de Schrödinger para una partícula libre) y en problemas de ondas electromagnéticas y acústicas con simetría esférica. A diferencia de la función de primera especie \(j_v(x)\), la de segunda especie \(y_v(x)\) diverge hacia menos infinito cuando \(x\) tiende a 0.

Spherical Bessel functions of the second kind y_v(x) for orders v=0,1,2, showing the singularity as x approaches 0 and decaying oscillations.

Cómo usar esta calculadora

Introduce el orden \(v\) (cualquier número real; lo más habitual son enteros pequeños no negativos), el valor inicial de \(x\), el incremento entre valores sucesivos de \(x\) y el número de filas que quieres generar. La herramienta construye una tabla de \(x\) y \(y_v(x)\) junto con su gráfica. Como \(x = 0\) es un punto singular, cualquier fila con \(x \le 0\) se marca como «indefinida».

La fórmula

La función se define a partir de la función cilíndrica de Bessel de segunda especie:

$$y_v(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}}\; Y_{v+\frac{1}{2}}(x)$$

Para órdenes enteros existen formas cerradas elementales, por ejemplo \(y_0(x) = -\cos(x)/x\) e \(y_1(x) = -\cos(x)/x^2 - \operatorname{sen}(x)/x\). Los órdenes superiores se obtienen con la recurrencia hacia adelante

$$y_{v+1}(x) = \frac{2v+1}{x}\,y_v(x) - y_{v-1}(x)$$

Publicidad

The spherical function y_v(x) is obtained from the ordinary Bessel function Y of half-integer-shifted order times a scaling factor.

Ejemplo resuelto

Para el orden \(v = 1\) y \(x\) inicial \(= 2\):

$$y_1(2) = -\frac{\cos(2)}{4} - \frac{\operatorname{sen}(2)}{2} = -\frac{-0{,}4161468}{4} - \frac{0{,}9092974}{2} = 0{,}1040367 - 0{,}4546487 = -0{,}3506120$$

Para \(v = 0\) con \(x = 1, 2, 3\) se obtiene \(-0{,}540302\), \(0{,}208073\) y \(0{,}329998\).

Preguntas frecuentes

¿Por qué \(x = 0\) queda indefinido? El factor \(\sqrt{\pi/(2x)}\) y los términos \(1/x\) se disparan, de modo que \(y_v(0) = -\infty\).

¿Puede \(x\) ser negativo? En el convenio real estándar \(y_v(x)\) solo es real para \(x > 0\); los valores negativos de \(x\) se marcan como indefinidos.

¿Qué ocurre para valores grandes de \(x\)? La función oscila con una envolvente que decae como \(1/x\): \(y_v(x) \approx -\cos(x - (v+1)\pi/2)/x\).