Qué hace esta calculadora
Esta herramienta tabula y representa gráficamente la función esférica de Bessel modificada de primera especie, \(i_v(x)\), para un orden \(v\) fijo a lo largo de una sucesión de valores de \(x\). Partiendo de un valor inicial de \(x\), suma un paso fijo el número de veces que indiques, generando las filas \(x_k = \text{initialX} + k \cdot \text{stepX}\) para \(k = 0, 1, \dots, \text{loopCount}-1\), y evalúa \(i_v(x_k)\) en cada una de ellas.
La fórmula explicada
La función esférica de Bessel modificada se define a partir de la función de Bessel modificada (cilíndrica) de primera especie \(I\) mediante $$i_{v}(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}}\, I_{v+\frac{1}{2}}(x).$$ Para órdenes enteros no negativos pequeños existen expresiones cerradas cómodas en términos de funciones hiperbólicas: \(i_0(x) = \frac{\sinh(x)}{x}\), \(i_1(x) = \frac{x\cosh x - \sinh x}{x^2}\), \(i_2(x) = \frac{(x^2+3)\sinh x - 3x\cosh x}{x^3}\). Los órdenes enteros superiores se obtienen con la recurrencia \(i_{n+1}(x) = i_{n-1}(x) - \frac{2n+1}{x} i_n(x)\). Para un orden real cualquiera \(v\), la calculadora evalúa \(I_{v+\frac{1}{2}}(x)\) a partir de su serie de potencias usando la función Gamma.
Cómo usarla
Introduce el orden \(v\) (por ejemplo 0, 1 o un semientero como 0.5), el valor inicial de \(x\), el incremento y cuántas filas quieres obtener. El resultado muestra una tabla de dos columnas con \(x\) e \(i_v(x)\); el primer valor aparece destacado en la parte superior. Usa un paso pequeño, como 0.1, para obtener una curva suave.
Ejemplo resuelto
Con \(v = 0\), \(\text{initialX} = 0\), \(\text{stepX} = 0.1\) y \(\text{loopCount} = 51\), se utiliza la función \(i_0(x) = \frac{\sinh(x)}{x}\). La primera fila, en \(x = 0\), da el valor límite 1. En \(x = 1\), $$\frac{\sinh(1)}{1} = 1.17520119.$$ En \(x = 5\) (la última fila), $$\frac{\sinh(5)}{5} = 14.84064212,$$ de modo que la curva crece suavemente desde 1 hasta alrededor de 14.84.
Preguntas frecuentes
¿Qué ocurre en \(x = 0\)? La expresión \(\sqrt{\frac{\pi}{2x}}\) es singular en ese punto, así que la calculadora devuelve el límite: \(i_0(0) = 1\) e \(i_v(0) = 0\) para \(v > 0\).
¿Puede el orden ser un semientero? Sí. Se admite cualquier orden real; los órdenes no enteros se calculan mediante la serie de \(I_{v+\frac{1}{2}}(x)\).
¿Puede \(x\) ser negativo? Las expresiones cerradas de orden entero están definidas para \(x\) negativo, pero la rama de orden general se limita a \(x \geq 0\), ya que la raíz cuadrada principal de un argumento negativo sería compleja.
