Qué hace esta calculadora
Esta herramienta evalúa la función esférica de Bessel de primera especie \(j_v(x)\), la función esférica de Bessel de segunda especie \(y_v(x)\) y sus primeras derivadas \(j'_v(x)\) e \(y'_v(x)\). Estas funciones son las soluciones radiales de las ecuaciones de onda y de Helmholtz en coordenadas esféricas, y aparecen por toda la física: teoría de la dispersión, radiación electromagnética y acústica, y mecánica cuántica (ondas parciales de la partícula libre). Esta versión reconstruida trabaja con orden entero \(v \ge 0\) y argumento real \(x > 0\).
Cómo usarla
Introduce el orden v (un entero no negativo como 0, 1 o 2) y el argumento x (un número real positivo). Pulsa calcular para obtener las cuatro cantidades. Ten en cuenta que \(y_v(x)\) e \(y'_v(x)\) divergen cuando x tiende a 0, por lo que la herramienta las indica como infinitas en \(x = 0\); el valor de \(j_0(0)\) es 1 como límite.
La fórmula explicada
Las funciones satisfacen $$x^2 w'' + 2x w' + (x^2 - v(v+1))w = 0.$$ Partiendo de las formas cerradas \(j_0 = \sin(x)/x\) e \(y_0 = -\cos(x)/x\), los órdenes superiores se obtienen mediante la recurrencia de tres términos $$f_{n+1} = \frac{2n+1}{x}f_n - f_{n-1}.$$ La recurrencia ascendente es estable para \(y_v\), pero para \(j_v\) resulta inestable cuando \(n > x\), así que recurrimos a la recurrencia descendente de Miller: se arranca desde un orden alto con f igual a 0 y 1, se desciende y luego se reescala cada valor para que el término de orden 0 coincida con \(\sin(x)/x\). Las derivadas se calculan con $$j'_v = j_{v-1} - \frac{v+1}{x}j_v.$$
Ejemplo resuelto (v = 0, x = 2)
$$j_0(2) = \frac{\sin(2)}{2} = 0.4546487134.$$ $$y_0(2) = -\frac{\cos(2)}{2} = 0.2080734183.$$ Como \(j'_0 = -j_1\), obtenemos \(j'_0(2) = -0.4353977750\), e \(y'_0 = -y_1\) da \(0.3506120043\).
Preguntas frecuentes
¿Admite x complejos? No. La página original acepta argumentos complejos; esta reconstrucción se limita a x real \(> 0\) para ganar claridad y rapidez.
¿Por qué \(y_v\) es infinita en x = 0? Las funciones de segunda especie tienen un polo en el origen, así que sus valores crecen sin límite a medida que x se acerca a 0.
¿Qué precisión tiene? Los cálculos usan doble precisión, lo que ofrece unas 15 cifras significativas, más que suficiente para el trabajo habitual de ingeniería y física.
