Что считает этот калькулятор
Инструмент вычисляет сферическую функцию Бесселя первого рода jv(x), сферическую функцию Бесселя второго рода yv(x), а также их первые производные j'v(x) и y'v(x). Эти функции — радиальные решения волнового уравнения и уравнения Гельмгольца в сферических координатах. Они встречаются во многих разделах физики: в теории рассеяния, при описании электромагнитного и акустического излучения, а также в квантовой механике (парциальные волны свободной частицы). Обновлённая версия работает с целым порядком v ≥ 0 и вещественным аргументом x > 0.
Как пользоваться
Введите порядок v (неотрицательное целое число, например 0, 1, 2) и аргумент x (положительное вещественное число). Нажмите «Рассчитать», чтобы получить все четыре величины. Учтите, что yv(x) и y'v(x) уходят в бесконечность при x → 0, поэтому при x = 0 калькулятор показывает для них бесконечность; при этом j0(0) = 1 как предел.
Разбор формулы
Функции удовлетворяют уравнению \(x^2 w'' + 2x w' + (x^2 - v(v+1))w = 0\). Отправной точкой служат замкнутые выражения \(j_0 = \sin(x)/x\) и \(y_0 = -\cos(x)/x\), а старшие порядки получаются по трёхчленной рекуррентной формуле $$f_{n+1} = \frac{2n+1}{x}\,f_n - f_{n-1}.$$ Рекурсия «вверх» устойчива для yv, но для jv она неустойчива при n > x, поэтому применяется рекурсия Миллера «вниз»: начинают с высокого порядка, задавая f равными 0 и 1, спускаются вниз, а затем масштабируют все значения так, чтобы член нулевого порядка совпал с sin(x)/x. Производные находятся по формуле $$j'_v = j_{v-1} - \frac{v+1}{x}\,j_v.$$
Пример расчёта (v = 0, x = 2)
$$j_0(2) = \frac{\sin(2)}{2} = 0.4546487134.$$ $$y_0(2) = -\frac{\cos(2)}{2} = 0.2080734183.$$ Так как \(j'_0 = -j_1\), получаем \(j'_0(2) = -0.4353977750\), а из \(y'_0 = -y_1\) следует \(0.3506120043\).
Частые вопросы
Поддерживается ли комплексное x? Нет. Исходная версия страницы принимала комплексные аргументы, но эта переработка ограничена вещественным x > 0 — ради ясности и скорости расчётов.
Почему yv бесконечна при x = 0? У функций второго рода в нуле есть полюс, поэтому их значения неограниченно растут при приближении x к нулю.
Насколько точны результаты? Вычисления ведутся с двойной точностью, что даёт около 15 значащих цифр — этого с запасом хватает для типичных инженерных и физических задач.
