這個計算機能做什麼
本工具可計算第一類球貝索函數 jv(x)、第二類球貝索函數 yv(x)，以及它們的一階導數 j'v(x) 與 y'v(x)。這些函數是波動方程與亥姆霍茲方程（Helmholtz equation）在球座標下的徑向解，在物理學中無所不在：散射理論、電磁波與聲波輻射，以及量子力學（自由粒子的分波展開）。本次改版支援整數階 \(v \ge 0\) 與實數引數 \(x > 0\)。
使用方法
輸入階數 v（非負整數，例如 0、1、2）與引數 x（正實數），按下計算，即可一次取得四個結果。請注意，當 x 趨近於 0 時，yv(x) 與 y'v(x) 會發散，因此本工具在 x = 0 時將其標示為無限大；而 j0(0) 取極限後等於 1。
公式說明
這些函數滿足微分方程 \(x^2 w'' + 2x w' + (x^2 - v(v+1))w = 0\)。從封閉形式 \(j_0 = \sin(x)/x\) 與 \(y_0 = -\cos(x)/x\) 出發，較高階可透過三項遞迴式
$$f_{n+1} = \frac{2n+1}{x}\,f_n - f_{n-1}$$求得。向上遞迴對 yv 是穩定的，但對 jv 而言，當 \(n > x\) 時會不穩定，因此我們改用 Miller 的向下遞迴法：先從一個高階開始，將 f 設為 0 與 1，往下遞迴，再將每個值重新縮放，使第 0 階的項與 \(\sin(x)/x\) 吻合。導數則使用 \(j'_v = j_{v-1} - \frac{v+1}{x}j_v\)。
實際範例（v = 0、x = 2）
$$j_0(2) = \frac{\sin(2)}{2} = 0.4546487134$$$$y_0(2) = -\frac{\cos(2)}{2} = 0.2080734183$$由於 \(j'_0 = -j_1\)，我們得到 \(j'_0(2) = -0.4353977750\)；而 \(y'_0 = -y_1\) 則得到 \(0.3506120043\)。
常見問題
支援複數 x 嗎？不支援。原始頁面可接受複數引數，但本次改版為了清晰與運算速度，僅限實數 \(x > 0\)。
為什麼 yv 在 x = 0 時為無限大？第二類函數在原點處有極點，因此當 x 趨近於 0 時，其數值會無限增大。
計算精度如何？運算採用雙精度浮點數，可提供約 15 位有效數字，對於一般工程與物理應用已綽綽有餘。
